Derivata nulla

[Controllore1]

Ragazzi, avete per caso un esempio di una funzione derivabile, con derivata nulla in ogni punto del suo dominio, ma non costante???

[Rigel1]

$f: (0,1) \cup (2,3)\to\mathbb{R}$, con $f(x) = \pi$ per ogni $x\in (0,1)$, $f(x) = e$ per ogni $x\in (2,3)$.

[Controllore1]

Ho capito ma sono entrambe costanti...[/tex]

[dissonance]

"Entrambe"? Sei proprio sicuro che siano due funzioni? Io ne vedo una sola.

[Controllore1]

E' una funzione definita a tratti, lo so, si vede che mi sono spiegato male... Volevo intendere che se separiamo i due intervalli in due funzioni, allora abbiamo due costanti... Questo volevo dire... Io volevo sapere, in sintesi, se esistono funzioni derivabili in tutto il loro dominio e non definite a tratti ma con derivata sempre uguale a 0...

[Rigel1]

$f(x) = \arctan(x) + \arctan(1/x)$.

[Controllore1]

Grazie...

[dissonance]

Vabbé ma hai capito cosa ha fatto Rigel? In sostanza si tratta di uno scherzo: guarda il grafico della funzione che ti ha proposto

[asvg]axes(); plot("arctan(x)+arctan(1/x)");[/asvg]

Se ti avesse scritto $f(x)={(pi/2, x>0), (-pi/2, x<0):}$, ovvero esattamente la stessa cosa, tu non avresti scritto "grazie" ma "eh no questa è definita a tratti, non va bene". Valgono le stesse considerazioni fatte nel primo capoverso di questo post:

https://www.matematicamente.it/forum/pos ... tml#485216

[Rigel1]

@dissonance: sempre a svelare i trucchi del mestiere

(Capissi perché le funzioni definite a tratti non abbiano gli stessi diritti delle altre...)

[vict85]

Beh... D'altra parte tutte le funzioni con derivata nulla su un intervallo sono costanti in quell'intervallo quindi non ci sono altri esempi...

[gugo82]

"Controllore":Ragazzi, avete per caso un esempio di una funzione derivabile, con derivata nulla in ogni punto del suo dominio, ma non costante???

Ovviamente questo dovrebbe essere un controesempio al classico teorema:

Siano [tex]$I\subseteq \mathbb{R}$[/tex] un intervallo ed [tex]$u:I\to \mathbb{R}$[/tex] continua in [tex]$I$[/tex] e derivabile nei punti interni ad [tex]$I$[/tex].
Allora:

[tex]$u^\prime =0\ \text{all'interno di $I$}\ \Leftrightarrow \ u=costante \ \text{in $I$}$[/tex]

Un controesempio lo trovi se:

- al posto di un intervallo [tex]$I$[/tex] prendi un unione di intervalli disgiunti: in tal caso l'idea di Rigel è quella giusta;

- prendi [tex]$I$[/tex] chiuso e richiedi che [tex]$u$[/tex] sia solo derivabile all'interno di [tex]$I$[/tex]: in tal caso puoi scegliere, che sò, [tex]$u(x)=1$[/tex] in [tex]$]0,1[$[/tex] ed [tex]$u(x)=0$[/tex] in [tex]$\{ 0,1\}$[/tex].

[Controllore1]

Sì, lo avevo fatto il grafico della funzione, estendendola in 0, ma gli ho detto grazie perchè così pensavo che una funzione del genere fosse più abbordabile di una funzione definita a tratti (anche se secondo me se la estendo in 0 ho ugualmente una funzione a tratti)... Solo che così fa più figura... Sembra potente di primo impatto... Siccome è un esercizio che ho preso da un esame, pensavo allora che esistesse una funzione con derivata nulla nel dominio e non costante... Non so se mi sono spiegato bene... Forse così sarei riuscito a fregare il professore...

[vict85]

Fregare? Perché?

Comunque usando il teorema di Lagrange http://it.wikipedia.org/wiki/Teorema_di_Lagrange è immediato verificare che se la funzione è continua e derivabile in ogni punto di un intervallo aperto allora deve essere costante su tutto l'intervallo.