Derivata nel senso delle distribuzioni

[ludwigZero]

salve, alle prese con i primi esercizi sulle distribuzioni.

derivata prima e seconda nel senso delle distribuzioni:

$g(x)=$

$-1$ if $x<= -1$

$0$ if $-1<=x<=1$

$1$ if $x>1$


$g' = d/(dx )T_g = T_{d/(dx) g} + \delta_{x_0} [g_1 (x_0) - g_2 (x_0) ] + \delta_{x_0} [g_1 (x_0) - g_3 (x_0) ] $

$g_1 (x_0) - g_2 (x_0) = -1 -(-1) = 0$

$g_1 (x_0) - g_3 (x_0) = 1-1=0$

quindi
$g'(x) = 1_{I[-1,1]}$

per la derivata seconda:

$g'' = d^2/(d^2x) T_g = T_{d^2/(d^2x) g} + \delta_{x_0} [(g_1)' (x_0) - (g_2)' (x_0) ] + \delta_{x_0} [(g_1)' (x_0) - (g_3)' (x_0) ] $

$x_0 =-1$
$[(g_1)' (x_0) - (g_2)' (x_0)] = -1$

$x_0=1$
$ [(g_1)' (x_0) - (g_3)'(x_0)] = 1$

allora
$g'' = -\delta(x+1) + \delta(x-1)$

vi trovate?

[gugo82]

Basta guardare il grafico di \(g\) per capire che c'è qualcosa che non va in quella derivata.
[asvg]xmin=-3; xmax=3; ymin=-3; ymax=3;
axes("","");
stroke="red"; strokewidth=2;
line([-4,-1],[-1,-1]); dot([-1,-1]); line([-1,0],[1,0]); dot([1,0]); line([1,1],[4,1]);[/asvg]
Perché?

[ludwigZero]

Sbaglio mio:
if $x \in [-1,1]$ $g(x)=x$

[gugo82]

Ah, allora:
\[
g(x) = \begin{cases} -1 &\text{, se } x\leq -1\\
x &\text{, se } -1\leq x\leq 1\\
1 &\text{, se } x\geq 1\; ,
\end{cases}
\]
quindi chiaramente:
\[
g^\prime (x) = \begin{cases} 0 &\text{, se } x< -1 \text{ o } x>1\\
1 &\text{, se } -1< x< 1
\end{cases} \qquad \text{e} \qquad g^{\prime \prime} (x) =\delta (x+1) -\delta (x-1)\; .
\]
Ciò si può dedurre anche per via grafica:
[asvg]xmin=-2; xmax=2 ; ymin=-2; ymax=2;
axes("","");
stroke="purple"; strokewidth = 2; line([-3,-1],[-1,-1]); line([-1,-1],[1,1]); line([1,1],[3,1]);[/asvg]
[asvg]xmin=-2; xmax=2 ; ymin=-2; ymax=2;
axes("","");
stroke="blue"; strokewidth = 2; line([-3,0],[-1,0]); line([-1,1],[1,1]); line([1,0],[3,0]);[/asvg]
[asvg]xmin=-2; xmax=2 ; ymin=-2; ymax=2;
axes("",""); marker="arrow";
stroke="dodgerblue"; strokewidth = 2; line([-1,0],[-1,1]); line([1,0],[1,-1]);[/asvg]