Derivata n-esima di serie
l'esercizio mi è stato proposto quando è stato trattato lo sviluppo in serie di taylor. dice di calcolare
[tex]f^{(45)}(0)[/tex] e [tex]f^{(46)}(0)[/tex] della funzione
[tex]f(x)= \frac {x}{(1+x^2)^2}[/tex]
non voglio la soluzione, ma solo capire in che modo dovrei procedere...
di primo acchitto mi verrebbe in mente di iniziare a scrivere lo sviluppo in serie di mac laurin...
[tex]f^{(45)}(0)[/tex] e [tex]f^{(46)}(0)[/tex] della funzione
[tex]f(x)= \frac {x}{(1+x^2)^2}[/tex]
non voglio la soluzione, ma solo capire in che modo dovrei procedere...
di primo acchitto mi verrebbe in mente di iniziare a scrivere lo sviluppo in serie di mac laurin...
Risposte
Esatto: se consideri uno sviluppo in serie della forma [tex]$\sum_{n=0}^\infty a_n(x-x_0)^n[/tex], il Teorema di Taylor afferma che [tex]$a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$[/tex], per cui...
sisi, fin qui, c'ero, ma non riesco a capire come faccia a comparire poi il legame tra la funzione ed n. piu che altro non saprei come ricavare la derivata n-esima... c'è un metodo particolare oppure devo intuirla io?
@giozh: Se hai studiato la serie geometrica ed i teoremi di integrazione e derivazione termine a termine, l'esercizio è alquanto banale.
scusate se rispondo con qualche giorno di ritardo 
allora, devo prima scrivere lo sviluppo di centro 0 di f(x) che se non erro si fa come [tex]\frac{d}{dx} \frac{1}{1+x^2}[/tex] dove per il teorema della derivazione termine a termine posso scrivere [tex]\frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} {x^{2n}}[/tex] per farne poi la derivata. adesso, una volta che ho calcolato questa derivata, che dovrei fare?
allora, devo prima scrivere lo sviluppo di centro 0 di f(x) che se non erro si fa come [tex]\frac{d}{dx} \frac{1}{1+x^2}[/tex] dove per il teorema della derivazione termine a termine posso scrivere [tex]\frac{d}{dx} \sum_{n=0}^{\infty} {x^{2n}}[/tex] per farne poi la derivata. adesso, una volta che ho calcolato questa derivata, che dovrei fare?
La derivata viene espressa da una parte come una funzione, dall'altra come una serie. Questo vuol dire che la funzione è uguale alla serie, e quindi i coefficienti della serie coincidono con quelli che otterresti applicando il Teorema di Taylor come ti ho scritto sopra.
ho ancora dei seri dubbi a capire qualcosa...
allora considerato che [tex]a_n= \frac{f^{(n)}}{n!} = \frac{2nx^{2n-1}}{n!}[/tex] è il mio coefficiente della serie, la derivata quarantacinquesima, in questo caso la ottengo quando n=23. adesso come mi comporto? e poi una cosa, mi sa che mi sono scordato di "contare" il quadrato di tutta la funzione a denominatore...
allora considerato che [tex]a_n= \frac{f^{(n)}}{n!} = \frac{2nx^{2n-1}}{n!}[/tex] è il mio coefficiente della serie, la derivata quarantacinquesima, in questo caso la ottengo quando n=23. adesso come mi comporto? e poi una cosa, mi sa che mi sono scordato di "contare" il quadrato di tutta la funzione a denominatore...
Vabbé, ho capito: allora abbiamo
[tex]$f(x)=\frac{x}{(1+x^2)^2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\frac{1}{1+x^2}=-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n\right)=
-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}\right)=-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n x^{2n}\right)$[/tex]
per cui
[tex]$f(x)=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty (-1)^n 2n x^{2n-1}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n x^{2n-1}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (n+1) x^{2n+1}$[/tex]
Comparendo solo potenze dispari, abbiamo che i coefficienti della serie di Taylor scritta sopra risultano:
[tex]$a_{2h}=0,\qquad a_{2h+1}=(-1)^h (h+1)$[/tex]
usando allora la relazione [tex]$f^{(n)}(0)=n! a_n$[/tex] segue subito che [tex]$f^{(46)}(0)=0$[/tex] mentre avendosi [tex]$45=2h+1\ \Leftrightarrow\ h=22$[/tex], si ha [tex]$f^{(45)}(0)=46!\cdot a_{46}=46!\cdot (-1)^{22}\cdot(22+1)=23\cdot 46!$[/tex].
[tex]$f(x)=\frac{x}{(1+x^2)^2}=-\frac{1}{2}\cdot\frac{d}{dx}\frac{1}{1+x^2}=-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^\infty (-x^2)^n\right)=
-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^n x^{2n}\right)=-\frac{1}{2}\frac{d}{dx}\left(1+\sum_{n=1}^\infty (-1)^n x^{2n}\right)$[/tex]
per cui
[tex]$f(x)=-\frac{1}{2}\sum_{n=1}^\infty (-1)^n 2n x^{2n-1}=\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1} n x^{2n-1}=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (n+1) x^{2n+1}$[/tex]
Comparendo solo potenze dispari, abbiamo che i coefficienti della serie di Taylor scritta sopra risultano:
[tex]$a_{2h}=0,\qquad a_{2h+1}=(-1)^h (h+1)$[/tex]
usando allora la relazione [tex]$f^{(n)}(0)=n! a_n$[/tex] segue subito che [tex]$f^{(46)}(0)=0$[/tex] mentre avendosi [tex]$45=2h+1\ \Leftrightarrow\ h=22$[/tex], si ha [tex]$f^{(45)}(0)=46!\cdot a_{46}=46!\cdot (-1)^{22}\cdot(22+1)=23\cdot 46!$[/tex].
ok, grazie, ma non riesco a capire perchè la funzione di partenza la si scrive come -1/2*la derivata...
Hai calcolato la derivata di $1/{1+x^2}$? Hai visto quanto fa? Da cosa è differente rispetto alla funzione da cui parti? Eddai, ma il cervello lo vogliamo accendere un pochino o no?
grazie mille della pazienza. capito
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo