Derivata n-esima

[palazzogiuseppe01]

Salve a tutti,
ho un problema con il seguente esercizio:
\( f(x)=e^xsenx \)
Il primo punto mi chiedeva di calcolare la derivata sesta e settima in 0 della funzione e l'ho svolto utilizzando il polinomio di Taylor.
Ora mi chiede di calcolare la derivata n-esima in 0 della funzione e di trovare una formula per la derivata n-esima in un punto generico x della funzione. (Per ogni n )
Mi sono bloccato

[Mephlip]

Ciao, per il valore della derivata $n$-esima in $0$ dovrebbe andare bene lo stesso ragionamento fatto per la derivata sesta e settima.
Per la formula generale, prova a calcolare qualche derivata e vedi se c'è una ricorrenza; se non ho sbagliato i conti si dovrebbe vedere già al quinto ordine di derivazione.

[l'abatefarina]

@yoseyo
ma l'utilizzo del polinomio di taylor era richiesto dall'esercizio?
perchè $ f^(IV)(x)=-4f(x) $
il che vuol dire che ,dato che ogni $n$ naturale lo possiamo scrivere nella forma $n=4q+r$ con $q$ naturale e $r$
che può assumere i valori $0,1,2,3$, si ha
$ f^((n))(x)=(-4)^qf^((r))(x) $

assumendo $f^((0))(x)=f(x)$

[palazzogiuseppe01]

"l'abatefarina":@yoseyo
ma l'utilizzo del polinomio di taylor era richiesto dall'esercizio?
perchè $ f^(IV)(x)=-4f(x) $
il che vuol dire che ,dato che ogni $n$ naturale lo possiamo scrivere nella forma $n=4q+r$ con $q$ naturale e $r$
che può assumere i valori $0,1,2,3$, si ha
$ f^((n))(x)=(-4)^qf^((r))(x) $

assumendo $f^((0))(x)=f(x)$

No in effetti l'utilizzo del polinomio non era richiesto, avevo pensato io di utilizzarlo per calcolare i valori delle derivate.
Grazie mille ad entrambi per le risposte, dubbio sciolto