Derivata n-esima
Ciao a tutti! Di quest'esercizio non trovo nessuna spiegazione... immagino che c'entri qualcosa con lo sviluppo di Mac Laurin ma anche calcolandolo non so poi cosa devo farmene 
Calcolare la derivata sedicesima di $g(x)$ in $x_(0)=0$
$g(x)=log(1-3x^4)+3sinx^4 +9x^8/2+19x^12/2$
Calcolare la derivata sedicesima di $g(x)$ in $x_(0)=0$
$g(x)=log(1-3x^4)+3sinx^4 +9x^8/2+19x^12/2$
Risposte
Basta ricordare lo sviluppo di Taylor: $$f(x) = f(x_0) + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(n)}(x_0}{n!}(x-x_0)^n + o(x^n)$$
Per $x_0=0$ ottieni lo sviluppo di Mac-Laurin, come hai giustamente ricordato. Allora questo vuol dire che il coefficiente di $x^n$ è $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. Ma allora basta calcolare il coefficiente di $x^{16}$ per trovare la derivata sedicesima, perché il polinomio di Taylor è unico.
Per $x_0=0$ ottieni lo sviluppo di Mac-Laurin, come hai giustamente ricordato. Allora questo vuol dire che il coefficiente di $x^n$ è $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. Ma allora basta calcolare il coefficiente di $x^{16}$ per trovare la derivata sedicesima, perché il polinomio di Taylor è unico.
Veramente anche a me si è accesa qualche lampadina. Ne ho otto accese sotto l'avatar, ma parlo proprio di testa... 
Innanzitutto possiamo notare che $g(x)$ in un intorno dello zero è una funzione $C^(\infty)$. Puoi domandarti come faccio a capirlo ma te lo spiego subito poiché gli ultimi due termini sono monomi (quindi $C^(\infty)$), il seno è egualmente $C^(\infty)$ e quel logaritmo, dalla derivata prima in poi diventa una funzione razionale, ovvero un rapporto di polinomi, in cui al denominatore c'è una quantità diversa da zero per $x=0$.
Dunque ha senso chiedersi la derivata sedicesima nello zero.
Ho un ragionamento "delirante" che penso sia buono, ma forse è solo delirante...
Ora, termine a termine
1.
$log(1-3x^4)$
è quello che dà più problemi. La derivata prima è $-(12x^3)/(1-3x^4) = P/Q$ tanto per dare qualche facilitazione di lettura.
Le derivate successive saranno sempre del tipo $P/Q$ in cui $Q$ sarà una potenza $n-$esima di $(1-3x^4)$ mentre $P$ avrà sempre un $x^n$ da raccogliere per quanto complicato possa essere, quindi ogni derivata in zero varrà zero (per via di quell'$x^n$ da raccogliere).
2.
$sin(x^4)$ avrà come derivata prima $4x^3(cos(x^4))$. Anche qui, a furia di fare derivate di prodotti ci sarà sempre un $x^n$ perché l'argomento di seni e coseni è sempre $x^4$. Quindi anche questo vale zero in zero.
3. 4.
Derivando un monomio, ad ogni passaggio successivo scende di grado. Arrivato a essere una costante, poi dal passaggio successivo ancora in poi la derivata sarà sempre identicamente nulla, quindi anche qui vale zero.
Innanzitutto possiamo notare che $g(x)$ in un intorno dello zero è una funzione $C^(\infty)$. Puoi domandarti come faccio a capirlo ma te lo spiego subito poiché gli ultimi due termini sono monomi (quindi $C^(\infty)$), il seno è egualmente $C^(\infty)$ e quel logaritmo, dalla derivata prima in poi diventa una funzione razionale, ovvero un rapporto di polinomi, in cui al denominatore c'è una quantità diversa da zero per $x=0$.
Dunque ha senso chiedersi la derivata sedicesima nello zero.
Ho un ragionamento "delirante" che penso sia buono, ma forse è solo delirante...
Ora, termine a termine
1.
$log(1-3x^4)$
è quello che dà più problemi. La derivata prima è $-(12x^3)/(1-3x^4) = P/Q$ tanto per dare qualche facilitazione di lettura.
Le derivate successive saranno sempre del tipo $P/Q$ in cui $Q$ sarà una potenza $n-$esima di $(1-3x^4)$ mentre $P$ avrà sempre un $x^n$ da raccogliere per quanto complicato possa essere, quindi ogni derivata in zero varrà zero (per via di quell'$x^n$ da raccogliere).
2.
$sin(x^4)$ avrà come derivata prima $4x^3(cos(x^4))$. Anche qui, a furia di fare derivate di prodotti ci sarà sempre un $x^n$ perché l'argomento di seni e coseni è sempre $x^4$. Quindi anche questo vale zero in zero.
3. 4.
Derivando un monomio, ad ogni passaggio successivo scende di grado. Arrivato a essere una costante, poi dal passaggio successivo ancora in poi la derivata sarà sempre identicamente nulla, quindi anche qui vale zero.
A mio avviso è ancora più semplice: la funzione è derivabile infinite volte in un intorno completo dello zero ed è simmetrica pari, perciò tutte le derivate di indice pari varranno zero in zero.
@Zero87,
le osservazioni 1. e 2. non mi sembrano corrette.
Ciao
@Zero87,
le osservazioni 1. e 2. non mi sembrano corrette.
Ciao
"orsoulx":
@Zero87,
le osservazioni 1. e 2. non mi sembrano corrette.
Ciao
Probabile, mi sono laureato quattro anni fa e di matematica non ricordo quasi un tubo... Però ne ero convinto.
"Antimius":
Basta ricordare lo sviluppo di Taylor: $$f(x) = f(x_0) + \sum_{k=1}^{n} \frac{f^{(n)}(x_0}{n!}(x-x_0)^n + o(x^n)$$
Per $x_0=0$ ottieni lo sviluppo di Mac-Laurin, come hai giustamente ricordato. Allora questo vuol dire che il coefficiente di $x^n$ è $\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$. Ma allora basta calcolare il coefficiente di $x^{16}$ per trovare la derivata sedicesima, perché il polinomio di Taylor è unico.
Grazie infinite a tutti per l'aiuto!!
Non ho capito, quindi per calcolare la derivata sedicesima calcoli prima $f(0)$ e poi lo derivi 16 volte?
Non c'è un modo per calcolare $f^n(0)/(n!)$ senza dover derivare n volte (perchè nel caso in cui la derivata si complicasse anzichè semplificarsi sarebbe poco pratico)?
E fatti i calcoli la derivata 16esima sarebbe solo il coefficiente $f^n(0)/(n!)$ o anche $x^16$?
No, non calcoli nessuna derivata. Trovi lo sviluppo di Taylor della funzione. Il coefficiente $a_{16}$ di $x^16$ in questo sviluppo sarà necessariamente $\frac{f^{(16)}(0)}{16!}$ per l'unicità del polinomio di Taylor. Ma allora, $f^{(16)}(0) = a_16 \cdot 16!$
Parlo da persona ignorante (dopo tutto questo tempo) però ho qualche dubbio nella tua risposta perché i coefficienti della serie di Taylor sono le derivate successive calcolate nel punto di centro della serie stessa, quindi credo che deve comunque calcolare tali derivate...
Non so se mi sono spiegato bene, in altre parole il coefficiente di $x^16$ è la derivata $16-$esima calcolata in zero (divisa per $16!$ ok), quindi mi sembra complicato cavarsela senza derivare.
Non so se mi sono spiegato bene, in altre parole il coefficiente di $x^16$ è la derivata $16-$esima calcolata in zero (divisa per $16!$ ok), quindi mi sembra complicato cavarsela senza derivare.
Può farlo utilizzando gli sviluppi notevoli 
Ad esempio, in questo caso, gli ultimi due addendi possono essere ignorati in quanto sono già dei monomi ma non hanno grado $16$. Lo sviluppo del seno ha solo termini di grado dispari, perciò $\sin(x^4)$ ha termini del tipo $x^{4(2k+1)}$ e perciò non contiene un monomio di grado $16$. Rimane soltanto da sviluppare il logaritmo e vedere qual è il coefficiente davanti a $x^{16}$.
Ad esempio, in questo caso, gli ultimi due addendi possono essere ignorati in quanto sono già dei monomi ma non hanno grado $16$. Lo sviluppo del seno ha solo termini di grado dispari, perciò $\sin(x^4)$ ha termini del tipo $x^{4(2k+1)}$ e perciò non contiene un monomio di grado $16$. Rimane soltanto da sviluppare il logaritmo e vedere qual è il coefficiente davanti a $x^{16}$.
"Antimius":
Può farlo utilizzando gli sviluppi notevoli
Chiaro, grazie mille
FIgurati
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