Derivata mista e andamento del rapporto incrementale

[qwertyuio1]

Sia $F:\RR^2\to\RR$ di classe $C^2$ e tale che $(\partial^2 F)/(\partial x \partial y) >= 0$.
Fissiamo $y_0 $x\mapsto R(x) := (F(x,y_1)-F(x,y_0))/(y_1-y_0) .$
E' vero che la funzione $R$ è crescente? Come posso dimostrarlo?

Nota: spiego da dove nasce la mia domanda. Se consideriamo $f:\RR\to\RR$ di classe $C^2$ le condizioni seguenti sono equivalenti
i) $(\partial^2 f)/(\partial x^2) >= 0$
ii) $f$ convessa
iii) la funzione $x\mapsto(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ è crescente.

[qwertyuio1]

Mi auto-rispondo...
$R$ è crescente se e solo se $R'(x)\geq0$ se e solo se $(\partial F (x,y_1))/(\partial x) >= (\partial F (x,y_0))/(\partial x)$. Ma ciò è vero se $y\mapsto (\partial F (x,y))/(\partial x)$ è crescente, ovvero se $(\partial^2 F (x,y))/(\partial x\partial y)\geq0$.
E' corretto o m'inganno?