Derivata Logaritmo

[Danying]

Salve;
molti testi se la sbrigano, semplicemente usando la regola della derivata inversa .... mentre altri sono più dettagliati con altri metodi per arrivare al risultato.
vorrei chiarire alcune cose per quanto riguarda il limite del logaritmo.

sia $f(x)=log_ax$ $rArr$ $[log_a(x+h)-log_ax]/[h]= [log_a(x+h)/(x)]/[h] =[log_a(1+h/x)]/[x h/x]$

ricordando che è $lim_(h->0) [log_a(1+h/x)]/[ h/x]= log_ae$ si ha $D(log_ax)= 1/x log_ae$ $.$

capisco il secondo passaggio in cui si applica la proprietà della differenza di logaritmi... ma nel terzo passaggio mi sono perso, non tanto al denominatore che è chiaro la moltiplicazione e divisione per la variabile, ma quanto al numeratore dove non mi è chiaro $log_a(1+h/x)$ ;

e poi $1/x$ da dove esce fuori ?.... il testo usa un limite noto per arrivare appunto a $log_ae$

e in teoria nella forma di prima resta " una x sola soletta al denominatore" se non viene semplificata...

grazie dell'attenzione
Cordiali saluti.

edit:

[Seneca1]

"mat100":Salve;
molti testi se la sbrigano, semplicemente usando la regola della derivata inversa .... mentre altri sono più dettagliati con altri metodi per arrivare al risultato.
vorrei chiarire alcune cose per quanto riguarda il limite del logaritmo.

sia $f(x)=log_ax$ $rArr$ $[log_a(x+h)-log_ax]/[h]= [log_a(x+h)/(x)]/[h] =[log_a(1+1/x)]/[x h/x]$

ricordando che è $lim_(h->0) [log_a(1+1/x)]/[ h/x]= log_ae$ si ha $D(log_ax)= 1/x log_ae$

capisco il secondo passaggio in cui si applica la proprietà della differenza di logaritmi... ma nel terzo passaggio mi sono perso, non tanto al denominatore che è chiaro la moltiplicazione e divisione per la variabile, ma quanto al numeratore dove non mi è chiaro $log_a(1+1/x)$ ;

e poi $1/x$ da dove esce fuori ?.... il testo usa un limite noto per arrivare appunto a $log_ae$

e in teoria nella forma di prima resta " una x sola soletta al denominatore" se non viene semplificata...

grazie dell'attenzione
Cordiali saluti.

$f(x)=log_ax$ $rArr$ $[log_a(x+h)-log_ax]/[h]= [log_a(x+h)/(x)]/[h] =[log_a(1+h/x)]/[x h/x]$

Donde la tesi.

[Danying]

"Seneca":


$f(x)=log_ax$ $rArr$ $[log_a(x+h)-log_ax]/[h]= [log_a(x+h)/(x)]/[h] =[log_a(1+h/x)]/[x h/x]$

Donde la tesi.

Help!
la richiesta era un altra...

[K.Lomax]

Non ti è chiaro che [tex]\frac{x+h}{x}=1+\frac{h}{x}[/tex]?

[tex]\frac{1}{x}[/tex] esce fuori dal fatto che precedentemente hai moltiplicato e diviso per [tex]x[/tex] a denominatore e successivamente sfruttato il limite notevole di [tex]\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}[/tex]

[Danying]

"K.Lomax":Non ti è chiaro che [tex]\frac{x+h}{x}=1+\frac{h}{x}[/tex]?

[tex]\frac{1}{x}[/tex] esce fuori dal fatto che precedentemente hai moltiplicato e diviso per [tex]x[/tex] a denominatore e successivamente sfruttato il limite notevole di [tex]\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}[/tex]

la seconda parte;

pensavo che in una forma del genere quando si decidesse di moltiplicare e dividere lo si dovrebbe fare anche per il numeratore e non solo nel denominatore come in questo caso;

cmq..
Sappiamo dunque che al denominatore si è moltiplicato e diviso per x così avendo $x h/x$.... sappiamo così facendo che si è formato un limite noto cui risultato è $log_ae$

ecco non capisco che fine fa la x "da sola " al denominatore nell'espressione.


il risultato per me sarebbe stato $x log_ae$ e non il reciproco $1/x log_ae$.

che ovviamente è quello giusto ... ecco questi due quesiti cui risposta non mi è chiara


spero potete chiarire..

[K.Lomax]

[tex]\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}=\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{x\frac{h}{x}}=\frac{1}{x}\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}[/tex] che per [tex]h\to 0[/tex] diventa [tex]\frac{1}{x}\log_ae[/tex]

[Danying]

"K.Lomax":[tex]\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{h}=\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{x\frac{h}{x}}=\frac{1}{x}\frac{\log\left(1+\frac{h}{x}\right)}{\frac{h}{x}}[/tex] che per [tex]h\to 0[/tex] diventa [tex]\frac{1}{x}\log_ae[/tex]

così è decisamente più chiara...
thanks.

la x "moltiplicativa" del solo denominatore è stata estratta dalla funzione diventando per le regole algebriche $1/x f(x)$

giusto.... ?

[K.Lomax]

Si...Perdonami ma, se era questo il problema, ti sei perso proprio in un bicchiere d'acqua.

[Danying]

"K.Lomax":Si...Perdonami ma, se era questo il problema, ti sei perso proprio in un bicchiere d'acqua.

hai ragione.. K.lomax

Ma Come ti ho detto sopra... sono sempre convinto che la manipolazione deve essere fatta sempre insieme "Numeratore -Denominatore"

mentre in questa dimostrazione la moltiplicazione e divisione per x viene operata solo al denominatore capisci ?

è una stupidaggine si è vero.

[Gi81]

"K.Lomax":Si...Perdonami ma, se era questo il problema, ti sei perso proprio in un bicchiere d'acqua.

Nel più puro stile dei matematici

[K.Lomax]

Fin quando non commetti qualche errore algebrico alterando la funzione, puoi fare ciò che vuoi.

[Seneca1]

A dir il vero, oltre a perderti in un bicchier d'acqua, riportavi un passaggio scorretto.

[Danying]

"Seneca":A dir il vero, oltre a perderti in un bicchier d'acqua, riportavi un passaggio scorretto.

se ti riferisci a quell' $(1+1/x)$ che doveva essere $(1+h/x)$ è stato editato da me stesso


se ti riferisci ad altro non so, ho riportato i passaggi del testo