Derivata logaritmica
Salve, avrei un dubbio:
Se ho una funzione del tipo : \(\displaystyle x^{a} e^{-x}dx \) da integrare, come posso passare in \(\displaystyle dlogx? \)
Se ho una funzione del tipo : \(\displaystyle x^{a} e^{-x}dx \) da integrare, come posso passare in \(\displaystyle dlogx? \)
Risposte
Non è che si capisca molto cosa intendi. Se \(a\) è un intero, lì ti conviene integrare per parti scrivendo, formalmente,
\[
x^ae^{-x}\, dx=x^a d(-e^{-x}).\]
Questa integrazione per parti va fatta \(a\) volte.
\[
x^ae^{-x}\, dx=x^a d(-e^{-x}).\]
Questa integrazione per parti va fatta \(a\) volte.
@maximus24: magari scrivendo il testo completo capiamo tutti meglio....
Sì, scusatemi. Allora la funzione è la funzione di schechter, cioè la seguente:
\(\displaystyle \frac{\phi*}{L*}\left (\frac{x}{L*} \right )^{alpha}e^{\left (\frac{-x}{L*} \right)}dx \)
Dove alpha tipicamente cambia a seconda del redshift, nell'esempio che sto facendo io vale -1.35
\(\displaystyle \frac{\phi*}{L*}\left (\frac{x}{L*} \right )^{alpha}e^{\left (\frac{-x}{L*} \right)}dx \)
Dove alpha tipicamente cambia a seconda del redshift, nell'esempio che sto facendo io vale -1.35
non è che tu abbia aggiunto molte informazioni utili rispetto al primo messaggio, non hai nemmeno specificato se l'integrale è indefinito (ne dubito) o definito. Con $alpha=-1.35$ non puoi calcolare la primitiva in termini di funzioni elementari. Per risolvere l'integrale devi passare necessariamente attraverso una Gamma incompleta (IMHO)
Ok, allora in realtà è un integrale doppio, perché dovrei integrare anche in un intervallo di redshift, però l'integrale della FdL va da un valore minimo, tipicamente il flusso minimo, a infinito
Il problema di fondo è: come esprimere questa funzione in dlogx, poiché devo plottarla con python e successivamente risolverne l'integrale, sempre con python
Ciao maximus24,
Mi sa che ha ragione tommik, infatti si ha:
$\int_a^b x^{\alpha} e^{-x} \text{d}x = \Gamma(\alpha +1, a) - Gamma(\alpha + 1, b) $
ove $\Gamma(\alpha, x) := \int_x^{+\infty} t^{\alpha - 1} e^{-t} \text{d}t $ è la funzione gamma incompleta superiore.
Ecco, questo invece non l'ho capito neanch'io: che cosa intendi? Credo tu ti stia riferendo all'opportunità di esprimere la funzione di luminosità di Schechter in termini di magnitudine, ma non ne sono sicuro...
"tommik":
Per risolvere l'integrale devi passare necessariamente attraverso una Gamma incompleta
Mi sa che ha ragione tommik, infatti si ha:
$\int_a^b x^{\alpha} e^{-x} \text{d}x = \Gamma(\alpha +1, a) - Gamma(\alpha + 1, b) $
ove $\Gamma(\alpha, x) := \int_x^{+\infty} t^{\alpha - 1} e^{-t} \text{d}t $ è la funzione gamma incompleta superiore.
"maximus24":
Il problema di fondo è: come esprimere questa funzione in dlogx
Ecco, questo invece non l'ho capito neanch'io: che cosa intendi? Credo tu ti stia riferendo all'opportunità di esprimere la funzione di luminosità di Schechter in termini di magnitudine, ma non ne sono sicuro...
"maximus24":
Salve, avrei un dubbio:
Se ho una funzione del tipo : \(\displaystyle x^{a} e^{-x}dx \) da integrare, come posso passare in \(\displaystyle dlogx? \)
Cambiando variabile, poni $y= log x => x=e^y$ di modo che $text(d) x = e^y text(d)y$ e $x^alpha e^(-x) = e^(alpha y) e^(-e^y) = e^(alpha y - e^y)$ (e per gli estremi di integrazione devi vedertela tu, dato che non ti curi di scriverli); quindi $x^alpha e^(-x) text(d) x = e^((alpha + 1) y - e^y) text(d) y$.
P.S.: La derivata logaritmica non c'entra nulla, però...
Ciao gugo82,
Non vorrei fare il guastafeste e potrei anche sbagliarmi, ma temo che, trattandosi di una faccenda di astronomia, in realtà l'OP per $ logx $ intenda $ log_{10} x $
Non vorrei fare il guastafeste e potrei anche sbagliarmi, ma temo che, trattandosi di una faccenda di astronomia, in realtà l'OP per $ logx $ intenda $ log_{10} x $
Vabbè, un cambiamento di base e passa la paura... 
Ecco, questo invece non l'ho capito neanch'io: che cosa intendi? Credo tu ti stia riferendo all'opportunità di esprimere la funzione di luminosità di Schechter in termini di magnitudine, ma non ne sono sicuro...
No, no. La FdL deve rimanere in termini di luminosità. altrimenti mi basterebbe considerare la sua versione in termini di magnitudine, che è presente su ogni libro di testo
P.S.: La derivata logaritmica non c'entra nulla, però...
Pensavo fosse quella la strada
Non vorrei fare il guastafeste e potrei anche sbagliarmi, ma temo che, trattandosi di una faccenda di astronomia, in realtà l'OP per logx intenda log10x
Esatto
Onestamente non ho ben capito, io ho lavorato una settimana intera nello scrivere script per Py per risolvere integrali singoli e multipli e applicarla alla Schechter (in vari contesti), poi la tipa del paper a cui mi stavo riferendo mi ha detto che il plot della schechter lo fa con la funzione \(\displaystyle log(\phi)dlogL, \) e allo stesso modo ne fa l'integrale. Ma pur facendo il log (base 10 perché le luminosità sono ad ordini estremamente grandi) della funzione e cambiando dL in dlogL con un cambio di variabili. non cavo fuori nulla
"maximus24":
poi la tipa del paper a cui mi stavo riferendo mi ha detto che il plot della schechter lo fa con la funzione $log(\phi)dlogL $, e allo stesso modo ne fa l'integrale. Ma pur facendo il log (base 10 perché le luminosità sono ad ordini estremamente grandi) della funzione e cambiando $dL $ in $dlogL $ con un cambio di variabili. non cavo fuori nulla
Dunque... Provo a riassumere per vedere se anch'io ho capito bene. L'integrale è del tipo seguente:
$\int_{L_a}^{L_b} \phi^{\star}(L/L^{\star})^{\alpha} e^{-L/L^{\star}}(\text{d}L)/L^{\star} $
Per avere tutto adimensionale, credo ti convenga porre $x := log_10 (L/L^{\star}) \implies 10^x = L/L^{\star} \implies \text{d}x = (\text{d}L)/(L ln(10)) = (\text{d}L)/(10^x L^{\star} ln(10)) \implies (\text{d}L)/(L^{\star}) = 10^x ln(10) \text{d}x $
Occhio che naturalmente devi considerare che cambiano gli estremi di integrazione: $ L_a < L < L_b \implies L_a/L^{\star} < L/L^{\star} < L_a/L^{\star} \implies log_10 (L_a/L^{\star}) < x < log_10 (L_b/L^{\star}) $, per cui si ha:
$ \int_{L_a}^{L_b} \phi^{\star}(L/L^{\star})^{\alpha} e^{-L/L^{\star}}(\text{d}L)/L^{\star} = \int_{log_10(L_a/L^{\star})}^{log_10(L_b/L^{\star})} \phi^{\star} 10^{\alpha x} e^{-10^x} 10^x ln(10) \text{d}x = \phi^{\star} ln(10)\int_{log_10(L_a/L^{\star})}^{log_10(L_b/L^{\star})} 10^{(\alpha + 1)x} e^{-10^x} \text{d}x $
Il fatto è che l'ultimo integrale scritto è del tipo "peggio che andar di notte a fari spenti in prossimità di un burrone che sta franando"...
Invece, ponendo $x := L/L^{\star} \implies \text{d}x = \frac{\text{d}L}{L^{\star}} $ si ha:
$ \int_{L_a}^{L_b} \phi^{\star}(L/L^{\star})^{\alpha} e^{-L/L^{\star}}(\text{d}L)/L^{\star} = \phi^{\star} \int_{a}^{b} x^{\alpha} e^{-x} \text{d}x $
ove $a := L_a/L^{\star} $ e $b := L_b/L^{\star} $ e l'ultimo scritto è proprio l'integrale che ho già citato in un mio post precedente.
Grazie mille! Domattina provo subito e ti faccio sapere!
p.s. ero arrivato alla espressione "complicata", ma come uno stupido non cambiavo gli estremi di integrazione e sia il plot che l'integrale erano sfasatissimi!
p.s. ero arrivato alla espressione "complicata", ma come uno stupido non cambiavo gli estremi di integrazione e sia il plot che l'integrale erano sfasatissimi!
"maximus24":
Grazie mille!
Prego!
"maximus24":
Domattina provo subito e ti faccio sapere!
Rimango in attesa di una tua conferma che tutto funzioni...
Il plot è andato benissimo! Ora sto integrando il codice per fare l'integrale, ma avendo un laboratorio ho poco tempo da dedicarvi. Ma penso sia quella la giusta, grazie mille ancora!
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