Derivata inversa
Ciao a voi e buon anno.
Mi trovo con un dubbio riguardo la derivata inversa, ho capito la dimostrazione e devo iniziare a fare qualche esercizio. Vi propongo il dubbio con un esempio.
Se prendiamo la funzione $f(x)=logx=y$ allora la derivata inversa di f sarà $e^y$, se facessi $f'(x)*(f^(-1))'(x)=(e^y)/x$ in termni di funzioni. Tuttavia se andassi a sostituire y e x con valori numerici ovviamente essendo $x=e^y$ avrei che il prodotto fa 1.
Ma è corretto da dirsi? Perché in teoria le funzioni a numeratore e^y e denominatore x sono diverse e non ha senso dire che hanno rapporto unitario, inoltre se conosco y non dovrei conoscere x(è quello il bello do questo teorema e applicarlo come faccio io sembra inutile)
Spero qualcuno chiarisca questa mia confusione
Mi trovo con un dubbio riguardo la derivata inversa, ho capito la dimostrazione e devo iniziare a fare qualche esercizio. Vi propongo il dubbio con un esempio.
Se prendiamo la funzione $f(x)=logx=y$ allora la derivata inversa di f sarà $e^y$, se facessi $f'(x)*(f^(-1))'(x)=(e^y)/x$ in termni di funzioni. Tuttavia se andassi a sostituire y e x con valori numerici ovviamente essendo $x=e^y$ avrei che il prodotto fa 1.
Ma è corretto da dirsi? Perché in teoria le funzioni a numeratore e^y e denominatore x sono diverse e non ha senso dire che hanno rapporto unitario, inoltre se conosco y non dovrei conoscere x(è quello il bello do questo teorema e applicarlo come faccio io sembra inutile)
Spero qualcuno chiarisca questa mia confusione
Risposte
"lozaio":
[…] se facessi $f'(x)*(f_1)'(x)=(e^y)/x$ in termni di funzioni.
Ciò non ha alcun senso.
Che dice il teorema di derivazione della funzione inversa?
*** EDIT:
Anche dopo la modifica delle 9:56, quanto scritto qui:
"lozaio":
[…] se facessi $f'(x)*(f^(-1))'(x)=(e^y)/x$ in termni di funzioni.
continua a non avere senso.
Ho corretto perché volevo far capire il dubbio ma non essendo esperto con le formule avevo pasticciato.
Provo a spiegare la mia idea sperando di far capire il dubbio: quello che dice il teorema (o meglio quello che ho capito) è che
$(f^(-1))'x=1/(f'(f^(-1)y)$
ossia che la derivata della funzione inversa è data dall'inverso della derivata della funzione f(x) e fatto questo si va a sostituire la funzione $f^(-1)=e^y$ all'interno.
Quindi: $1/(f'(f^(-1)y)=1/(1/x)|_(x=e^y)$ cioè $e^y$
Se ora prendessi $f'(x)*(f^(-1))'$ immaginavo di fare (derivata logaritmo)*(derivata dell'inversa) cioè $1/x*e^y$ non vedo l'errore
Ti pego aiutami!
Provo a spiegare la mia idea sperando di far capire il dubbio: quello che dice il teorema (o meglio quello che ho capito) è che
$(f^(-1))'x=1/(f'(f^(-1)y)$
ossia che la derivata della funzione inversa è data dall'inverso della derivata della funzione f(x) e fatto questo si va a sostituire la funzione $f^(-1)=e^y$ all'interno.
Quindi: $1/(f'(f^(-1)y)=1/(1/x)|_(x=e^y)$ cioè $e^y$
Se ora prendessi $f'(x)*(f^(-1))'$ immaginavo di fare (derivata logaritmo)*(derivata dell'inversa) cioè $1/x*e^y$ non vedo l'errore
Ti pego aiutami!
Cosa vuoi fare calcolando quel prodotto?
Intuitivamente mi sembra sempre fare 1 in ogni punto lo si calcoli per quanto dicevo nell'ultimo messaggio. Non capisco perché mi vuoi far intendere ci sia un errore nel mio vedere le cose. Ci ho riflettuto a lungo ma non riesco a capire il mio errore
"lozaio":
Non capisco perché mi vuoi far intendere ci sia un errore nel mio vedere le cose. Ci ho riflettuto a lungo ma non riesco a capire il mio errore
Vediamo…
"lozaio":
[…] se facessi $f'(x)*(f^(-1))'(x)=(e^y)/x$ in termni di funzioni.
Come può una funzione della sola $x$ dipendere anche da un’altra variabile (la $y$)?
Volevo ringraiare per le risposte
e in realtà volevo far presente che sono un asino, la mia domanda era $f'(x)*(f^(-1))'(y)=(e^y)/x=1$, non so perché avessi scritto x
e in realtà volevo far presente che sono un asino, la mia domanda era $f'(x)*(f^(-1))'(y)=(e^y)/x=1$, non so perché avessi scritto x
Se ho capito la risposta, non dovrei averne. E' giusto il valore 1 perché andando a sostituire l'inversa si semplificano numericamente.
Però non garantisco di aver preso un gramchio.
Però non garantisco di aver preso un gramchio.
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