Derivata, Integrale chiarimento
Quello che non riesco a capire in poche parole è il legame tra integrale e derivata, cioè dal concetto di derivata come è possibile che nel procedimento inverso si ottenga un'area. So che questa domanda è già stata posta ma non ho capito molto nell'altro post perchè poi si dilungava in cose che non conosco. Spero che qualcuno abbia la pazienza di rispondere limitandosi se possibile ad un linguaggio per una persona con basi di solo Analisi 1.
Risposte
In parole poverissime, e perciò imprecisissime, prendi una funzione continua \(f\) in \([a,b]\) e considera la funzione \(F:[a,b]\to \mathbb{R}\) definita intuitivamente come:
\[
F(x) := \text{area sottesa al grafico di } f \text{ nell'intervallo } [a,x]\; .
\]
L'incremento infinitesimo di \(F\) in un punto \(x\) scelto a caso nell'intervallo \([a,b]\) è dato da:
\[
\text{d} F(x)=F(x+\text{d} x) -F(x)
\]
che rappresenta l'area sottesa al grafico di \(f\) nell'intervallo infinitesimo \([x,x+\text{d} x]\); dato che \(f\) è continua e che \(\text{d} x\) è infinitesimo, l'area sottesa al grafico di \(f\) in \([x,x+\text{d} x]\) è pressoché uguale all'area di un rettangolino infinitesimo di base \(\text{d} x\) ed altezza \(f(x)\) (prova a fare un disegno), dunque:
\[
\text{d} F(x) = f(x)\ \text{d} x\; .
\]
Visto infine che, per definizione, si ha:
\[
\text{d} F(x) = F^\prime (x) \text{d} x\; ,
\]
dal confronto delle ultime due uguaglianze segue \(F^\prime (x)=f(x)\)...
Questo ragionamento "alla Carlona" mostra che, sotto precise ipotesi di regolarità che non abbiamo esplicitato, c'è uno stretto legame tra il problema del calcolo delle aree, e quindi il problema dell'integrazione definita, ed il problema del calcolo della rapidità di variazione, cioé il problema del calcolo della derivata prima.
Questo legame è esplicitato nel Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, il quale garantisce che (sotto ipotesi di continuità della \(f\)) la funzione \(F(x):=\int_a^x f(t)\ \text{d} t\) (i cui valori, se l'integrando è positivo, rappresentano aree sottese al grafico di \(f\)) gode della proprietà espressa dall'uguaglianza \(F^\prime(x)=f(x)\), cioé è una primitiva di \(f\).
A quale post ti riferisci?
\[
F(x) := \text{area sottesa al grafico di } f \text{ nell'intervallo } [a,x]\; .
\]
L'incremento infinitesimo di \(F\) in un punto \(x\) scelto a caso nell'intervallo \([a,b]\) è dato da:
\[
\text{d} F(x)=F(x+\text{d} x) -F(x)
\]
che rappresenta l'area sottesa al grafico di \(f\) nell'intervallo infinitesimo \([x,x+\text{d} x]\); dato che \(f\) è continua e che \(\text{d} x\) è infinitesimo, l'area sottesa al grafico di \(f\) in \([x,x+\text{d} x]\) è pressoché uguale all'area di un rettangolino infinitesimo di base \(\text{d} x\) ed altezza \(f(x)\) (prova a fare un disegno), dunque:
\[
\text{d} F(x) = f(x)\ \text{d} x\; .
\]
Visto infine che, per definizione, si ha:
\[
\text{d} F(x) = F^\prime (x) \text{d} x\; ,
\]
dal confronto delle ultime due uguaglianze segue \(F^\prime (x)=f(x)\)...
Questo ragionamento "alla Carlona" mostra che, sotto precise ipotesi di regolarità che non abbiamo esplicitato, c'è uno stretto legame tra il problema del calcolo delle aree, e quindi il problema dell'integrazione definita, ed il problema del calcolo della rapidità di variazione, cioé il problema del calcolo della derivata prima.
Questo legame è esplicitato nel Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, il quale garantisce che (sotto ipotesi di continuità della \(f\)) la funzione \(F(x):=\int_a^x f(t)\ \text{d} t\) (i cui valori, se l'integrando è positivo, rappresentano aree sottese al grafico di \(f\)) gode della proprietà espressa dall'uguaglianza \(F^\prime(x)=f(x)\), cioé è una primitiva di \(f\).
"Raffit":
Quello che non riesco a capire in poche parole è il legame tra integrale e derivata, cioè dal concetto di derivata come è possibile che nel procedimento inverso si ottenga un'area. So che questa domanda è già stata posta ma non ho capito molto nell'altro post perchè poi si dilungava in cose che non conosco. Spero che qualcuno abbia la pazienza di rispondere limitandosi se possibile ad un linguaggio per una persona con basi di solo Analisi 1.
A quale post ti riferisci?
"gugo82":
In parole poverissime, e perciò imprecisissime, prendi una funzione continua \(f\) in \([a,b]\) e considera la funzione \(F:[a,b]\to \mathbb{R}\) definita intuitivamente come:
\[
F(x) := \text{area sottesa al grafico di } f \text{ nell'intervallo } [a,x]\; .
\]
L'incremento infinitesimo di \(F\) in un punto \(x\) scelto a caso nell'intervallo \([a,b]\) è dato da:
\[
\text{d} F(x)=F(x+\text{d} x) -F(x)
\]
che rappresenta l'area sottesa al grafico di \(f\) nell'intervallo infinitesimo \([x,x+\text{d} x]\); dato che \(f\) è continua e che \(\text{d} x\) è infinitesimo, l'area sottesa al grafico di \(f\) in \([x,x+\text{d} x]\) è pressoché uguale all'area di un rettangolino infinitesimo di base \(\text{d} x\) ed altezza \(f(x)\) (prova a fare un disegno), dunque:
\[
\text{d} F(x) = f(x)\ \text{d} x\; .
\]
Visto infine che, per definizione, si ha:
\[
\text{d} F(x) = F^\prime (x) \text{d} x\; ,
\]
dal confronto delle ultime due uguaglianze segue \(F^\prime (x)=f(x)\)...
Questo ragionamento "alla Carlona" mostra che, sotto precise ipotesi di regolarità che non abbiamo esplicitato, c'è uno stretto legame tra il problema del calcolo delle aree, e quindi il problema dell'integrazione definita, ed il problema del calcolo della rapidità di variazione, cioé il problema del calcolo della derivata prima.
Questo legame è esplicitato nel Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, il quale garantisce che (sotto ipotesi di continuità della \(f\)) la funzione \(F(x):=\int_a^x f(t)\ \text{d} t\) (i cui valori, se l'integrando è positivo, rappresentano aree sottese al grafico di \(f\)) gode della proprietà espressa dall'uguaglianza \(F^\prime(x)=f(x)\), cioé è una primitiva di \(f\).
Grazie per la rapida risposta. Ci sto ancora riflettendo su per assimilarla al meglio ma credo di aver afferrato più o meno il concetto. Credo... cmq se avrò altri dubbi riscriverò qui.
Il post a cui facevo riferimento è questo viewtopic.php?t=33901&p=258177
Beh, in quei post non ci dovrebbe essere nulla di strano per chi studia Analisi I... Insomma, non c'è alcuna divagazione in territori inesplorati.
Rileggi il thread con attenzione e meditaci un po' sopra.
Rileggi il thread con attenzione e meditaci un po' sopra.
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