Derivata in un punto diversa dal limite del rapp. incrementa
Salve, questo è il mio primo post e colgo l'occasione per salutarvi tutti!
Ho un problema con lo studio della derivabilità di una funzione di due variabili definita a tratti:
$f(x,y)= (1-e^((x^2+y^2)))/(x^2+y^2)^(1/4)$ per $(x,y)!=(0,0)$
$0$ per $(x,y)=(0,0)$
Ho stabilito (corregetemi che sbaglio) che tale funzione è continua in tutto $R^2$ essendo il $lim f(x,y)$ per $(x,y)->(0,0)$ uguale a $0$, ottenendo che il valore $0$ assunto in $(0,0)$ è un lecito prolungamento per continuità.
Ed ora il problema:
Non considerando il prolungamento in (0,0) e la derivata rispetto ad y
Se calcolo la derivata rispetto ad x ottengo $fx(x,y) = (e^(x^2+y^2)[(8x(x^2+y^2)) - 1] - 1)/(4(x^2+y^2)^(5/4))$ che ovviamente non è definita in (0,0), ma se calcolo il lim del rapporto incrementale in (0,0) $lim h->0 (f(h,0)/h)$ viene $0$ trovando da un lato che la derivata prima non è definita in $(0,0)$ e che quindi la funzione non è derivabile in $(0,0)$ dall'altro trovo che il limite del rapporto incrementale nello stesso punto esiste ed è finito e che quindi la funzione è derivabile! Assurdo!
Dov'è l'errore??? La derivata calcolata in un punto non equivale al valore del limite del rapporto incrementale in quel punto?
Sono io che sballo o c'è qualcosa di strano? E in generale lo studio della derivabilità può vedersi come lo studio della continuità della derivata prima?
Grazie anticipatamente per le risposte.
Ho un problema con lo studio della derivabilità di una funzione di due variabili definita a tratti:
$f(x,y)= (1-e^((x^2+y^2)))/(x^2+y^2)^(1/4)$ per $(x,y)!=(0,0)$
$0$ per $(x,y)=(0,0)$
Ho stabilito (corregetemi che sbaglio) che tale funzione è continua in tutto $R^2$ essendo il $lim f(x,y)$ per $(x,y)->(0,0)$ uguale a $0$, ottenendo che il valore $0$ assunto in $(0,0)$ è un lecito prolungamento per continuità.
Ed ora il problema:
Non considerando il prolungamento in (0,0) e la derivata rispetto ad y
Se calcolo la derivata rispetto ad x ottengo $fx(x,y) = (e^(x^2+y^2)[(8x(x^2+y^2)) - 1] - 1)/(4(x^2+y^2)^(5/4))$ che ovviamente non è definita in (0,0), ma se calcolo il lim del rapporto incrementale in (0,0) $lim h->0 (f(h,0)/h)$ viene $0$ trovando da un lato che la derivata prima non è definita in $(0,0)$ e che quindi la funzione non è derivabile in $(0,0)$ dall'altro trovo che il limite del rapporto incrementale nello stesso punto esiste ed è finito e che quindi la funzione è derivabile! Assurdo!
Dov'è l'errore??? La derivata calcolata in un punto non equivale al valore del limite del rapporto incrementale in quel punto?
Sono io che sballo o c'è qualcosa di strano? E in generale lo studio della derivabilità può vedersi come lo studio della continuità della derivata prima?
Grazie anticipatamente per le risposte.
Risposte
Ti sei già risposto da solo: la derivata è il limite del rapporto incrementale, e non il limite delle derivate.
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