Derivata in tutto l'intervallo
Ciao a tutti!
Scusate la domanda forse banale, ma come faccio a capire "ad occhio" quando una funzione è derivabile in tutto l'intervallo?
Riesco a trovare la derivata nel punto calcolando il limite del rapporto incrementale, ma qual è un metodo rapido per dire che è derivabile in tutti i punti? Devo forse calcolare la derivata con le regole di derivazione e calcolarne poi il dominio?
Ad esempio come faccio a dire che f(x)=|x| non è derivabile in 0? Come si calcola questa derivata? (Ho capito che devono coincidere limite del rapporto incrementale destro e sinistro e qui non avviene).
Grazie mille in anticipo.
Scusate la domanda forse banale, ma come faccio a capire "ad occhio" quando una funzione è derivabile in tutto l'intervallo?
Riesco a trovare la derivata nel punto calcolando il limite del rapporto incrementale, ma qual è un metodo rapido per dire che è derivabile in tutti i punti? Devo forse calcolare la derivata con le regole di derivazione e calcolarne poi il dominio?
Ad esempio come faccio a dire che f(x)=|x| non è derivabile in 0? Come si calcola questa derivata? (Ho capito che devono coincidere limite del rapporto incrementale destro e sinistro e qui non avviene).
Grazie mille in anticipo.
Risposte
Ciao @Matilda^.
Ci sono dei risultati - al liceo magari visti come definizioni (all'università si dimostrano) - che dimostrano che determinati tipi di funzioni sono derivabili infinite volte come ad es. i polinomi e le funzioni seno e coseno.
In seguito si dimostra che somma algebrica, prodotto e composizione di tali funzioni dà origine a funzioni ugualmente derivabili. Per il rapporto la derivabilità vale, tranne che nei punti dove si annulla il denominatore.
Per fare un esempio, se $y=3x+5$ è derivabile senza problemi così come $y=cos(x)$ lo è, allora lo sarà anche $y=3x+5+cos(x)$ perché somma di funzioni derivabili ma anche $y=(3x+5)cos(x)$ perché prodotto, ...
Dove porta questo ragionamento? Volendo a tanto anche se fatto in questo senso non ne vedi molti benefici. La potenza viene fuori quando lo applichi nel verso opposto, ovvero proprio qui
e ti faccio un esempio pratico.
Se ti trovi a che fare con una funzione del tipo
$y=|\frac{3x^2+6x-9}{x^2-1}|$
ovvero un rapporto tra polinomi con il modulo fuori, il ragionamento, fatto all'opposto, può avvenire come ci trovassimo di fronte a una matrioska, dal livello più esterno al più interno.
Sai che il modulo implica un cambiamento di segno, perciò
$y=\frac{3x^2+6x-9}{x^2-1}$ dove quella roba lì (
) assume valori positivi
$y= -\frac{3x^2+6x-9}{x^2-1}$ dove quella roba ( ) lì assume valori negativi.
Poi prosegui.
Entrambe le funzioni sono rapporti di polinomi, perciò sono derivabili senza problemi tranne che nel punto in cui si annulla il denominatore.
Dunque, nel complesso, questo ragionamento ti porta a dire che quella funzione - "a occhio" come dici - è derivabile ovunque tranne in alcuni punti che vanno studiati a parte come quelli in cui vale zero perché il modulo fa cambiare segno e quelli in cui si annullano i denominatori. In quei casi, il limite destro e sinistro sono un'ottima scelta
Non so se e come sono riuscito a spiegare questa linea di pensiero, ma con l'esperienza, l'esercizio e alcune nozioni di base questo modo di pensare sarà praticamente automatico.
Ciao e buona giornata, se c'è qualcosa che non va chiedi.
"Matilda^":
come faccio a capire "ad occhio" quando una funzione è derivabile in tutto l'intervallo?
Ci sono dei risultati - al liceo magari visti come definizioni (all'università si dimostrano) - che dimostrano che determinati tipi di funzioni sono derivabili infinite volte come ad es. i polinomi e le funzioni seno e coseno.
In seguito si dimostra che somma algebrica, prodotto e composizione di tali funzioni dà origine a funzioni ugualmente derivabili. Per il rapporto la derivabilità vale, tranne che nei punti dove si annulla il denominatore.
Per fare un esempio, se $y=3x+5$ è derivabile senza problemi così come $y=cos(x)$ lo è, allora lo sarà anche $y=3x+5+cos(x)$ perché somma di funzioni derivabili ma anche $y=(3x+5)cos(x)$ perché prodotto, ...
Dove porta questo ragionamento? Volendo a tanto anche se fatto in questo senso non ne vedi molti benefici. La potenza viene fuori quando lo applichi nel verso opposto, ovvero proprio qui
Ad esempio come faccio a dire che f(x)=|x| non è derivabile in 0? Come si calcola questa derivata?
e ti faccio un esempio pratico.
Se ti trovi a che fare con una funzione del tipo
$y=|\frac{3x^2+6x-9}{x^2-1}|$
ovvero un rapporto tra polinomi con il modulo fuori, il ragionamento, fatto all'opposto, può avvenire come ci trovassimo di fronte a una matrioska, dal livello più esterno al più interno.
Sai che il modulo implica un cambiamento di segno, perciò
$y=\frac{3x^2+6x-9}{x^2-1}$ dove quella roba lì (
) assume valori positivi$y= -\frac{3x^2+6x-9}{x^2-1}$ dove quella roba (
) lì assume valori negativi.Poi prosegui.
Entrambe le funzioni sono rapporti di polinomi, perciò sono derivabili senza problemi tranne che nel punto in cui si annulla il denominatore.
Dunque, nel complesso, questo ragionamento ti porta a dire che quella funzione - "a occhio" come dici - è derivabile ovunque tranne in alcuni punti che vanno studiati a parte come quelli in cui vale zero perché il modulo fa cambiare segno e quelli in cui si annullano i denominatori. In quei casi, il limite destro e sinistro sono un'ottima scelta
(Ho capito che devono coincidere limite del rapporto incrementale destro e sinistro e qui non avviene).
Grazie mille in anticipo.
Non so se e come sono riuscito a spiegare questa linea di pensiero, ma con l'esperienza, l'esercizio e alcune nozioni di base questo modo di pensare sarà praticamente automatico.
Ciao e buona giornata, se c'è qualcosa che non va chiedi.
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