Derivata II di funzione
$f(x)=|x|^(2/3) - |4x-3|^(2/3)$
Nello studio di questa funzione, facendone la derivata II mi viene una equazione enorme di quarto grado non scomponibile. L'ho fatta in tutti i modi possibili ma il risultato non cambia! Il problema è che dopo non riesco a studiare la concavità.
Qualcuno può calcolarla e scrivermela?
Grazie
E poi volevo chiedere, quando c'è un modulo elevato a una potenza pari, posso sempre togliere il modulo?
Perchè mi è capitato, in altre funzioni, che togliendo il modulo mi cambiasse la derivata, ma forse ho sbagliato i calcoli.
Nello studio di questa funzione, facendone la derivata II mi viene una equazione enorme di quarto grado non scomponibile. L'ho fatta in tutti i modi possibili ma il risultato non cambia! Il problema è che dopo non riesco a studiare la concavità.
Qualcuno può calcolarla e scrivermela?
Grazie
E poi volevo chiedere, quando c'è un modulo elevato a una potenza pari, posso sempre togliere il modulo?
Perchè mi è capitato, in altre funzioni, che togliendo il modulo mi cambiasse la derivata, ma forse ho sbagliato i calcoli.
Risposte
Ci sono dei quadrati.... la funzione in realtà è questa:
$f(x)=x^{2/3}-(4x-3)^{2/3}$
e derivando si ha
$f'(x)=2/3(x^{-1/3}-4(4x-3)^{-1/3})$
$f''(x)=-2/9(x^{-4/3}-16(4x-3)^{-4/3})$
$f(x)=x^{2/3}-(4x-3)^{2/3}$
e derivando si ha
$f'(x)=2/3(x^{-1/3}-4(4x-3)^{-1/3})$
$f''(x)=-2/9(x^{-4/3}-16(4x-3)^{-4/3})$
Esatto, se poi fai il m.c.m tra i denominatori della f", al numeratore viene unìespressione enorme di quarto grado. Come ne discuto il segno?
La derivata la riscrivi così
$f''(x)=2/9\ \frac{16\root[3]{x^4}-\root[3]{(4x-3)^4}}{\root[3]{x^4(4x-3)^4}}$
Ora, il denominatore è ininfluente. Per il numeratore abbiamo
$16\root[3]{x^4}\ge\root[3]{(4x-3)^4}$
da cui elevando ambo i membri al cubo
$16x^4\ge(4x-3)^4$
Ora osserva che quello che hai è una relazione di tipo $a^4\ge b^2$ la quale equivale a dire che $a^2\le -b^2,\ a^2\ge b^2$. La prima condizione tuttavia è impossibile, per cui resta $a^2\ge b^2$ che equivale a scrivere $a\le -b,\ a\ge b$. In definitiva la tua disequazione equivale alla coppia (non a sistema)
$2x\le -4x+3,\qquad 2x\ge 4x-3$
$f''(x)=2/9\ \frac{16\root[3]{x^4}-\root[3]{(4x-3)^4}}{\root[3]{x^4(4x-3)^4}}$
Ora, il denominatore è ininfluente. Per il numeratore abbiamo
$16\root[3]{x^4}\ge\root[3]{(4x-3)^4}$
da cui elevando ambo i membri al cubo
$16x^4\ge(4x-3)^4$
Ora osserva che quello che hai è una relazione di tipo $a^4\ge b^2$ la quale equivale a dire che $a^2\le -b^2,\ a^2\ge b^2$. La prima condizione tuttavia è impossibile, per cui resta $a^2\ge b^2$ che equivale a scrivere $a\le -b,\ a\ge b$. In definitiva la tua disequazione equivale alla coppia (non a sistema)
$2x\le -4x+3,\qquad 2x\ge 4x-3$
"ciampax":
da cui elevando ambo i membri al cubo
$16x^4\ge(4x-3)^4$
Non devo elevare anche il 16 al cubo?
Ah sì, lo avevo scordato! 
E poi ne devi fare la radice quarta, per cui diventa $8$
E poi ne devi fare la radice quarta, per cui diventa $8$
Ah perfetto, grazie mille!
Io all'ultima disequazione avrei applicato tranquillamente la radice quadra. Non penso che mi avrebbe generato problemi.
@Ziel: ma infatti è ciò che ho fatto, solo che volevo essere scrupoloso e mostrare perché ti riduci direttamente a quelle due equazioni.
scusami ciampa... guarda l'orario in cui ho scritto il messaggio... ^^
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