Derivata $f(z)$

[ralf86]

Sia $f(z)=1/z$ funzione complessa di variabile complessa, $z_0=1$.
Si calcoli la derivata di $f(z)$ in $z_0$ lungo la direzione della bisettrice del primo e terzo quadrante.
$$\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} {{f\left( {{z_0} + \Delta t + i\Delta t} \right) - f\left( {{z_0}} \right)} \over {\Delta t + i\Delta t}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} {{{1 \over {1 + \Delta t + i\Delta t}} - {1 \over 1}} \over {\Delta t + i\Delta t}} = \cr
& = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} {{1 - 1 - \Delta t - i\Delta t} \over {\left( {1 + \Delta t + i\Delta t} \right)\left( {\Delta t + i\Delta t} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta t \to 0} {{ - \Delta t - i\Delta t} \over {1\left( {\Delta t + i\Delta t} \right)}} = - 1 \cr} $$

E' corretto?

Il dubbio mi nasce dal fatto che
$$\eqalign{
& \frac{{\partial f}}{{\partial x}} = \frac{\partial }{{\partial x}}\left( {\frac{1}{{x + iy}}} \right) = \frac{1}{{{{\left( {x + iy} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{z^2}}} \cr
& \frac{{\partial f}}{{i\partial y}} = \frac{\partial }{{i\partial y}}\left( {\frac{1}{{x + iy}}} \right) = \frac{i}{{i{{\left( {x + iy} \right)}^2}}} = \frac{1}{{{z^2}}} \cr
& {\left. {\frac{{\partial f}}{{\partial x}}} \right|_{z = {z_0}}} = {\left. {\frac{{\partial f}}{{i\partial y}}} \right|_{z = {z_0}}} = 1 \cr} $$
quindi $f(z)$ è analitica in $z_0$ e perciò la derivata direzionale dovrebbe invece essere $+1$ qualunque sia la direzione.

[Seneca1]

$f'(z) = - 1/z^2$

[ralf86]

hai ragione, grazie
(cretino che sono)