Derivata f(x)^g(x) help !
$y=x^(log(x)^2)$
applico questa formula
{ }
$y=f(x)^g(x),y'=f(x)^g(x) xx{g'(x)logf(x) + [(g(x) f'(x))/f(x)]}$
$f(x)=x$
$g(x)=log(x)^2, g'(x)=(1/x^2)2x=2/x$
$y'=x^(log(x)^2){(2logx)/x + [log(x)^2/x]}$
sviluppo log(x)^2:
$y'=x^(log(x)^2){(2logx)/x + [(2/x)/x]}$
ma poi svillpando la graffa mi viene un risultato divero rispetto le 5 possibili soluzioni poste dal prof:
1.$x^(log(x)^2){(2logx)+x^2}$
2.$logx^[x^2]{\e\^(logx^2)+x^(logx)}$
3.$4logx{x^[log(x)^2-1]}$
4.$logx^2(x^(logx)+\e\^x)$
5 .nessuna delle altre
potete dirmi dov'è l'errore ?grazie
applico questa formula
{ }
$y=f(x)^g(x),y'=f(x)^g(x) xx{g'(x)logf(x) + [(g(x) f'(x))/f(x)]}$
$f(x)=x$
$g(x)=log(x)^2, g'(x)=(1/x^2)2x=2/x$
$y'=x^(log(x)^2){(2logx)/x + [log(x)^2/x]}$
sviluppo log(x)^2:
$y'=x^(log(x)^2){(2logx)/x + [(2/x)/x]}$
ma poi svillpando la graffa mi viene un risultato divero rispetto le 5 possibili soluzioni poste dal prof:
1.$x^(log(x)^2){(2logx)+x^2}$
2.$logx^[x^2]{\e\^(logx^2)+x^(logx)}$
3.$4logx{x^[log(x)^2-1]}$
4.$logx^2(x^(logx)+\e\^x)$
5 .nessuna delle altre
potete dirmi dov'è l'errore ?grazie
Risposte
"LucaC":
$y=x^(log(x)^2)$
applico questa formula
{ }
$y=f(x)^g(x),y'=f(x)^g(x) xx{g'(x)logf(x) + [(g(x) f'(x))/f(x)]}$
$f(x)=x$
$g(x)=log(x)^2, g'(x)=(1/x^2)2x=2/x$
$y'=x^(log(x)^2){(2logx)/x + [log(x)^2/x]}$
sviluppo log(x)^2:
$y'=x^(log(x)^2){(2logx)/x + [(2/x)/x]}$
Hai scritto $g'$ al posto di $g$. Riguarda la formula...
dove scusa? la formula che ho nel libro è quella che scritto sopra
Luca, scusa la domanda scema, ma la funzione da derivare è questa $x^(log(x^2))$ o questa $x^(log(x)^2)$?
$x^(logx^2)$
A me, scrivendo la funzione come $e^(log(x^2)*log(x))$ la derivata risulta questa:
$x^log(x^2)*(1/x*log(x^2)+2/x*log(x))$
$x^(log(x^2)-1)*(log(x^2)+2log(x))$
Però bisognerebbe manipolarla un po per vedere se si riesce a far comparire qualche risultato di quelli presenti..
$x^log(x^2)*(1/x*log(x^2)+2/x*log(x))$
$x^(log(x^2)-1)*(log(x^2)+2log(x))$
Però bisognerebbe manipolarla un po per vedere se si riesce a far comparire qualche risultato di quelli presenti..
"LucaC":
dove scusa? la formula che ho nel libro è quella che scritto sopra
Nel secondo termine tra quelli nella parentesi graffa, c'è $g(x)=\log(x^2)$ non $g'(x)=2/x$. La formula che hai scritto prima della frase che ho evidenziato in rosso è corretta; dopo, non capisco perchè, sostituisci $g$ con $g'$.
perchè avevo provato per arrivare ad un risultato finale , però non viene !
Puoi farmi sapere se la risposta giusta è la 3?
Ricavo per comodità la formula per la derivata di \(\displaystyle h = g^f \) (ometto il riferimento alla \(\displaystyle x \) per rapidità di scrittura).
\(\displaystyle g^f = e^{f\ln(g)} \)
quindi
\(\displaystyle h' = e^{f\ln(g)}\Biggl[f'\ln(g) + \frac{fg'}{g}\Biggr] = g^f\Biggl[f'\ln(g) + \frac{fg'}{g}\Biggr]\)
A questo punto posso applicarlo a \(\displaystyle g = x \) e \(\displaystyle f = \ln x^2 \)
\begin{align} h' &= x^{\ln x^2}\Biggl[\frac{2\ln x}{x} + \frac{\ln x^2}{x}\Biggr] \\
&= x^{\ln x^2}\frac{2\ln x + \ln x^2)}{x} \\
&= x^{\ln x^2 - 1}\bigl(2\ln x + 2\ln x\bigr) \\
&= x^{\ln x^2 - 1}(4\ln x) \\
&= (4\ln x)x^{\ln x^2 - 1}
\end{align}
\(\displaystyle g^f = e^{f\ln(g)} \)
quindi
\(\displaystyle h' = e^{f\ln(g)}\Biggl[f'\ln(g) + \frac{fg'}{g}\Biggr] = g^f\Biggl[f'\ln(g) + \frac{fg'}{g}\Biggr]\)
A questo punto posso applicarlo a \(\displaystyle g = x \) e \(\displaystyle f = \ln x^2 \)
\begin{align} h' &= x^{\ln x^2}\Biggl[\frac{2\ln x}{x} + \frac{\ln x^2}{x}\Biggr] \\
&= x^{\ln x^2}\frac{2\ln x + \ln x^2)}{x} \\
&= x^{\ln x^2 - 1}\bigl(2\ln x + 2\ln x\bigr) \\
&= x^{\ln x^2 - 1}(4\ln x) \\
&= (4\ln x)x^{\ln x^2 - 1}
\end{align}
ti risulta una delle 5 presumo sia corretta 
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