Derivata funzione integrale
E' la prima volta che faccio una derivata di questo genere e vorrei dei chiarimenti.
La funzione da derivare è la seguente:
$ int_1^(e^x) log(t) dt $
Applicando il teorema del calcolo fondamentale o torricelli - barrow (si chiama così?
) la derivata della funzione integrale è la funzione stessa.
Quindi io dovrei avere:
$ log (e^x) - log(1) = log(e^x) $
E' esatto?
La funzione da derivare è la seguente:
$ int_1^(e^x) log(t) dt $
Applicando il teorema del calcolo fondamentale o torricelli - barrow (si chiama così?
) la derivata della funzione integrale è la funzione stessa.Quindi io dovrei avere:
$ log (e^x) - log(1) = log(e^x) $
E' esatto?
Risposte
no è semplicemente $ log(t)$
"andra_zx":
no è semplicemente $ log(t)$
Quindi l'intervallo di integrazione non conta nulla?
Prima di tutto la derivata si fa rispetto ad una certa variabile e io credo che tu, qwerty90, debba fare la derivata rispetto a x.
Perciò la risposta di andra_zx è completamente sbagliata!!!!!
Anche tu però devi riguardarti un pochino la teoria!
Se non ci arrivi da solo ti aiuto dopo io.
Ora vado a mangiare.
Ciao
Perciò la risposta di andra_zx è completamente sbagliata!!!!!
Anche tu però devi riguardarti un pochino la teoria!
Se non ci arrivi da solo ti aiuto dopo io.
Ora vado a mangiare.
Ciao
"andra_zx":
no è semplicemente $ log(t)$
No.
"misanino":
Prima di tutto la derivata si fa rispetto ad una certa variabile e io credo che tu, qwerty90, debba fare la derivata rispetto a x.
Perciò la risposta di andra_zx è completamente sbagliata!!!!!
Anche tu però devi riguardarti un pochino la teoria!
Se non ci arrivi da solo ti aiuto dopo io.
Ora vado a mangiare.
Ciao
ok ci sono...
Ho capito che la derivata di una funzione del tipo:
$G(x)= int_(x_0)^f(x) g(t) dt = g(f(x)) * f^{\prime}(x)$
quindi in questo caso ho:
$ int _1^(e^x) log(t) dt = log(e^x) * e^x $
adesso penso sia corretto...no?
Però in questo caso io avevo $x_0 = costante$
e nel caso in cui al posto di $x_0 $ ho un'altra funzione, che succede?
per esempio non capisco come derivare:
$int_x^(2x) frac{sin(t)}{t} dt $
Qualche osservazione:
La formula corretta è: se $G(x)= int_(x_0)^f(x) g(t) dt$ allora $G'(x)= g(f(x)) * f^{\prime}(x)$.
Be', puoi scriverlo ancora in un modo più comodo, mi sembra. In ogni caso, il ragionamento è giusto.
Ti conviene spezzare l'integrale nella somma di più integrali. Guarda qui, l'ho spiegato poco fa in questo post.
La formula corretta è: se $G(x)= int_(x_0)^f(x) g(t) dt$ allora $G'(x)= g(f(x)) * f^{\prime}(x)$.
quindi in questo caso ho:
$ int _1^(e^x) log(t) dt = log(e^x) * e^x $
adesso penso sia corretto...no?
Be', puoi scriverlo ancora in un modo più comodo, mi sembra. In ogni caso, il ragionamento è giusto.
Però in questo caso io avevo $x_0 = costante$
e nel caso in cui al posto di $x_0 $ ho un'altra funzione, che succede?
per esempio non capisco come derivare:
$int_x^(2x) frac{sin(t)}{t} dt $
Ti conviene spezzare l'integrale nella somma di più integrali. Guarda qui, l'ho spiegato poco fa in questo post.
"Paolo90":
Ti conviene spezzare l'integrale nella somma di più integrali. Guarda qui, l'ho spiegato poco fa in questo post.
Ok ero già a conoscenza del "spezzare" un integrale. Ma non capisco come fare in questo caso....
Scelgo un costante $x_0$ arbitraria, imponendo $ x < x_0 < 2x $ ?
Sempre derivazione delle funzioni composte è... Solo che devi derivare qualcosa che dipende da più variabili.
Infatti se [tex]$G(x):=\int_{\varphi (x)}^{\psi (x)} f(t) \text{ d} t$[/tex], posto [tex]$F (\varphi ,\psi):=\int_\varphi^\psi f(t)\text{ d} t$[/tex], la [tex]$G$[/tex] è la funzione composta [tex]$F(\varphi (x), \psi (x))$[/tex]; pertanto il teorema di derivazione delle funzioni composte (supponiamo per comodità che [tex]$\varphi ,\psi$[/tex] siano [tex]$C^1$[/tex]) ti restituisce:
[tex]$G^\prime (x)=\frac{\partial F}{\partial \varphi} (\varphi (x), \psi (x)) \cdot \varphi^\prime (x) +\frac{\partial F}{\partial \psi} (\varphi (x), \psi (x)) \cdot \psi^\prime (x)$[/tex].
Ora, visto che:
[tex]$\frac{\partial F}{\partial \varphi} (\varphi (x), \psi (x))=-f(\varphi(x)) ,\ \frac{\partial F}{\partial \psi} (\varphi (x), \psi (x))=f(\psi(x))$[/tex],
si ha infine:
[tex]$G^\prime (x)=f(\psi(x)) \cdot \psi^\prime (x)-f(\varphi(x)) \cdot \varphi^\prime (x)$[/tex].
***
Ancora più in generale, se:
[tex]$G(x):=\int_{\varphi (x)}^{\psi (x)} f(t,x) \text{ d} t$[/tex]
con [tex]$f\in C^1$[/tex], allora:
[tex]$G^\prime (x)=f(\psi(x)) \cdot \psi^\prime (x)-f(\varphi(x)) \cdot \varphi^\prime (x) +\int_{\varphi (x)}^{\psi (x)} \frac{\partial f}{\partial x}(t,x) \text{ d} t$[/tex].
Infatti se [tex]$G(x):=\int_{\varphi (x)}^{\psi (x)} f(t) \text{ d} t$[/tex], posto [tex]$F (\varphi ,\psi):=\int_\varphi^\psi f(t)\text{ d} t$[/tex], la [tex]$G$[/tex] è la funzione composta [tex]$F(\varphi (x), \psi (x))$[/tex]; pertanto il teorema di derivazione delle funzioni composte (supponiamo per comodità che [tex]$\varphi ,\psi$[/tex] siano [tex]$C^1$[/tex]) ti restituisce:
[tex]$G^\prime (x)=\frac{\partial F}{\partial \varphi} (\varphi (x), \psi (x)) \cdot \varphi^\prime (x) +\frac{\partial F}{\partial \psi} (\varphi (x), \psi (x)) \cdot \psi^\prime (x)$[/tex].
Ora, visto che:
[tex]$\frac{\partial F}{\partial \varphi} (\varphi (x), \psi (x))=-f(\varphi(x)) ,\ \frac{\partial F}{\partial \psi} (\varphi (x), \psi (x))=f(\psi(x))$[/tex],
si ha infine:
[tex]$G^\prime (x)=f(\psi(x)) \cdot \psi^\prime (x)-f(\varphi(x)) \cdot \varphi^\prime (x)$[/tex].
***
Ancora più in generale, se:
[tex]$G(x):=\int_{\varphi (x)}^{\psi (x)} f(t,x) \text{ d} t$[/tex]
con [tex]$f\in C^1$[/tex], allora:
[tex]$G^\prime (x)=f(\psi(x)) \cdot \psi^\prime (x)-f(\varphi(x)) \cdot \varphi^\prime (x) +\int_{\varphi (x)}^{\psi (x)} \frac{\partial f}{\partial x}(t,x) \text{ d} t$[/tex].
ok muchas gracias gugo
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