Derivata funzione in 2 var lungo una direzionone
ciao a tutti, sto guardando un esercizio di analisi 2 e non capisco come c'è arrivato alla soluzione.
vi allego qua sotto la pagina interessata, l'esercizio in questione è il 11.4.
non riesco a capire l'ultimo passaggio...
in pratica lui dice: devo fare $(\partialf)/(\partialv) (x, y)$ il che vuoldire che derivo tenendo le $x, y$ come costanti mentre il termine $t$ come il termine rispetto al quale derivare.
ora perchè questo è messo $= g'(0)$? e come fa $g'(0)$ ad essere $= xy + sqrt(3)/2*x^2 - (1/2 + sqrt(3)/2) e^(x+y)$? è passato dalla 11.1?
...non saprei veramente, sono confuso.
vi allego qua sotto la pagina interessata, l'esercizio in questione è il 11.4.
non riesco a capire l'ultimo passaggio...
in pratica lui dice: devo fare $(\partialf)/(\partialv) (x, y)$ il che vuoldire che derivo tenendo le $x, y$ come costanti mentre il termine $t$ come il termine rispetto al quale derivare.
ora perchè questo è messo $= g'(0)$? e come fa $g'(0)$ ad essere $= xy + sqrt(3)/2*x^2 - (1/2 + sqrt(3)/2) e^(x+y)$? è passato dalla 11.1?
...non saprei veramente, sono confuso.
Risposte
un altro esempio che non mi torna:
prediamo la funzione: $f(x,y) = {((xy^2)/(x^2+y^4), if (x,y)!=(0,0)),(0, if (x,y)!=(0,0)):}$ equazione (1)
ma scusatemi perchè la funzione è sia $0$ che $(xy^2)/(x^2+y^4)$ se $(x,y)!=(0,0)$ ... le condizioni non dovrebbero essere una col $!=(0,0)$ e l'altra $ =(0,0)$ ?
vabbeh, l'esercizio dice: "la funzione ammette in $(0,0)$ derivate in ogni direzione." ma come fa a esserlo se la funzione è definita solo per valori $(x,y) != (0,0)$? ma d'altro canto per vedere se ha delle derivate nel punto $(0,0)$ posso tener fissa la $y = 0$ e far variare la $x$ e vedo che $f(x,0) = 0$ e dunque la derivata rispetto a $x$ in $(0,0)$ è $0$, la stessa cosa la vedo per la $y$. quindi ha delle derivate in $(0,0)$, ora preso un vettore $v = (v_1,v_2)$ ho:
$(\partial f)/(\partial v) (0,0) = lim_{t->0}(f(tv_1, tv_2^2) - f(0,0))/t$ poi sostituendo nella (1) ottengo:
$lim_{t ->0}(tv_1 * (tv_2)^2)/((tv_1)^2+ (tv_2)^4) * 1/t$, ora semplificando $1/t$ con $(tv_1 * (tv_2)^2)/((tv_1)^2+ (tv_2)^4)$ ottengo:
$lim_{t ->0}(v_1 * tv_2^2)/((tv_1)^2+ (tv_2)^4)$ il che è diverso dal risultato del libro che fa così: $lim_{t ->0}(tv_1 * v_2^2)/(v_1^2+ t^2v_2^4)$
qualcuno sa dirmi qualcosa?
prediamo la funzione: $f(x,y) = {((xy^2)/(x^2+y^4), if (x,y)!=(0,0)),(0, if (x,y)!=(0,0)):}$ equazione (1)
ma scusatemi perchè la funzione è sia $0$ che $(xy^2)/(x^2+y^4)$ se $(x,y)!=(0,0)$ ... le condizioni non dovrebbero essere una col $!=(0,0)$ e l'altra $ =(0,0)$ ?
vabbeh, l'esercizio dice: "la funzione ammette in $(0,0)$ derivate in ogni direzione." ma come fa a esserlo se la funzione è definita solo per valori $(x,y) != (0,0)$? ma d'altro canto per vedere se ha delle derivate nel punto $(0,0)$ posso tener fissa la $y = 0$ e far variare la $x$ e vedo che $f(x,0) = 0$ e dunque la derivata rispetto a $x$ in $(0,0)$ è $0$, la stessa cosa la vedo per la $y$. quindi ha delle derivate in $(0,0)$, ora preso un vettore $v = (v_1,v_2)$ ho:
$(\partial f)/(\partial v) (0,0) = lim_{t->0}(f(tv_1, tv_2^2) - f(0,0))/t$ poi sostituendo nella (1) ottengo:
$lim_{t ->0}(tv_1 * (tv_2)^2)/((tv_1)^2+ (tv_2)^4) * 1/t$, ora semplificando $1/t$ con $(tv_1 * (tv_2)^2)/((tv_1)^2+ (tv_2)^4)$ ottengo:
$lim_{t ->0}(v_1 * tv_2^2)/((tv_1)^2+ (tv_2)^4)$ il che è diverso dal risultato del libro che fa così: $lim_{t ->0}(tv_1 * v_2^2)/(v_1^2+ t^2v_2^4)$
qualcuno sa dirmi qualcosa?
Primo esempio , essendo $ g(t)= (x+t/2)^2 (y+sqrt(3)t/2)-e^[(x+y)+t(1/2+sqrt(3)/2)] $ , si ha che :
$g'(t)= 2(x+t/2)1/2(y+sqrt(3)t/2)+(x+t/2)^2sqrt(3)/2-e^[(x+y)+t(1/2+sqrt(3)/2)] *(1/2+sqrt(3)/2) $ da cui
$g'(0)=xy+sqrt(3)x^2/2-e^(x+y)*(1/2+sqrt(3)/2) $.
La derivata direzionale che cerchi, nel generico punto $(x,y) $ e nella direzione del versore $hat v$ è data dal limite del rapporto incrementale della funzione $g(t)$che dipende solo da $t$.
Derivando quindi $g(t)$ ottieni $g'(t) $ che poi valorizzi nel punto $t=0 $ ed ottieni così il valore della derivata direzionale $D_(hatv)f(x,y)$.
Una buona lettura della teoria ti sarà di grande aiuto per meglio comprendere il tutto.
$g'(t)= 2(x+t/2)1/2(y+sqrt(3)t/2)+(x+t/2)^2sqrt(3)/2-e^[(x+y)+t(1/2+sqrt(3)/2)] *(1/2+sqrt(3)/2) $ da cui
$g'(0)=xy+sqrt(3)x^2/2-e^(x+y)*(1/2+sqrt(3)/2) $.
La derivata direzionale che cerchi, nel generico punto $(x,y) $ e nella direzione del versore $hat v$ è data dal limite del rapporto incrementale della funzione $g(t)$che dipende solo da $t$.
Derivando quindi $g(t)$ ottieni $g'(t) $ che poi valorizzi nel punto $t=0 $ ed ottieni così il valore della derivata direzionale $D_(hatv)f(x,y)$.
Una buona lettura della teoria ti sarà di grande aiuto per meglio comprendere il tutto.
wow ... sembra piu' semplice di quello che pensavo. purtroppo la teoria alla quale fa riferimento il mio docente non sembra essere esaustiva. la pagina che ho postato sopra è tutto cio' che riguarda la spiegazione delle derivate lungo una direzione + un altro esempio a pagina successiva... in ogni caso se hai qulche link utile sotto mano, libro da consigliarmi, pdf, o altro ... sarebbe fantastico.
grazie ancora della spiegazione chiarissima.
grazie ancora della spiegazione chiarissima.
Per la teoria puoi leggere questi appunti in rete
http://dm.ing.unibs.it/ptrebesc/Didatti ... lodiff.pdf
e fermarti secondo il programma che devi svolgere.
http://dm.ing.unibs.it/ptrebesc/Didatti ... lodiff.pdf
e fermarti secondo il programma che devi svolgere.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo