Derivata funzione f(x) = |x| in 0.

[turtle87crociato]

Utilizzando il seguente modo di scrivere il limite del rapporto incrementale:

\(\displaystyle \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0 + h) - f(x_0)}{h} \),

vorrei dimostrare che la derivata della funzione \(\displaystyle f(x) = |x| \) nel punto \(\displaystyle x_0 = 0 \) sia diversa "da destra" e "da sinistra". Come posso fare?

[Zurzaza]

Puoi usare la definizione di derivata destra\sinistra:
$lim_{x->0}(|x-0|-|0|)/x=lim_{x->0}(|x|)/x$ e questo si vede subito che non esiste proprio per le proprietà del modulo

EDIT: non mi ero accorto che volevi usare l'altra definizione, tuttavia la dimostrazione è identica:

$lim_{h->0}(|h|-|0|)/h=lim_{h->0}(|h|)/h$

[Zero87]

"Zurzaza":Puoi usare la definizione di derivata destra\sinistra:
$lim_{x->0}(|x-0|-|0|)/x=lim_{x->0}(|x|)/x$ e questo si vede subito che non esiste proprio per le proprietà del modulo

Poi, volendo, come dicono allo scientifico, avresti
$lim_(x->0^-) |x|/x = lim_(x->0^-) -x/x = -1$
$lim_(x->0^+) |x|/x = lim_(x->0^+) x/x =1$
i due limiti destro e sinistro non coincidono, dunque la derivata in $0$ non esiste.

Specifico che per $x->0^-$ vale $|x|=-x$ dal momento che tendiamo a $0$ da sinistra, dunque con valori negativi, mentre per $x->0^+$, $|x|=x$.

Buon Natale, forumisti.

[turtle87crociato]

Grazie a tutti, scusate per la domanda, forse stupida, ma ieri ero davvero stanco!

Solo una cosa, forse anch'essa stupida (almeno è breve ):

Se volessi considerare la funzione \(\displaystyle f(x) = |x| \) come funzione a tratti, come dovrei considerare il limite

$ lim_{h->0}(|h|-|0|)/h $ ? Dovrei far tendere anche la \(\displaystyle h \) a \(\displaystyle 0 \) da destra e sinistra?

[Federico7771]

"Zero87":
Poi, volendo, come dicono allo scientifico, avresti...

Cosa intendi con questa frase ? Non è corretto?

[Zero87]

"Federico777":Cosa intendi con questa frase ? Non è corretto?

E' correttissimo e, anzi, è un incentivo - anche se in modo ironico - rispetto allo scientifico: solo lì (alle superiori) si fanno queste finezze.

[Federico7771]

A bene perché se fosse stato sbagliato non avrei saputo più in cosa credere

[ot]Ma tanto male sono messe le superiori oggi?[/ot]

[Zero87]

"Federico777":[ot]Ma tanto male sono messe le superiori oggi?[/ot]

[ot]Non intendevo sparlare delle superiori ma solo citare un metodo di insegnamento oggettivo. Conosco molte persone provenienti da licei non scientifici, istituti professionali e altre scuole di quel tipo e la maggior parte di loro non sa nemmeno cos'è il valore assoluto.

E' un dato di fatto che allo scientifico si faccia praticamente quasi tutta l'analisi I mentre nelle altre superiori è anche tanto se si fanno le derivate.[/ot]