Derivata funzione due variabili composta
ciao ! 
devo calcolare la derivata della seguente funzione composta:
$F=g@f$ dove
$f(x,y)=(x,xy)$
$g(x,y)=(xe^y,ye^x)$
con due metodi, il primo è fare la composizione e derivarla e l'altro è usare la formula di derivazione.
metodo 1). componendo e ottenendo $F$ e calcolando le derivate, ho ottenuto:
$F_x=(e^(xy)+xye^x, ye^x+xye^x)$
$F_y=(x^2e^(xy), xe^x)$
metodo 2). la formula dovrebbe essere $(f@gamma)'(t_0)=grad(f)(t_0)*dotgamma$ ma come si applica????
grazie !!!
devo calcolare la derivata della seguente funzione composta:$F=g@f$ dove
$f(x,y)=(x,xy)$
$g(x,y)=(xe^y,ye^x)$
con due metodi, il primo è fare la composizione e derivarla e l'altro è usare la formula di derivazione.
metodo 1). componendo e ottenendo $F$ e calcolando le derivate, ho ottenuto:
$F_x=(e^(xy)+xye^x, ye^x+xye^x)$
$F_y=(x^2e^(xy), xe^x)$
metodo 2). la formula dovrebbe essere $(f@gamma)'(t_0)=grad(f)(t_0)*dotgamma$ ma come si applica????
grazie !!!
Risposte
"miry77":
metodo 2). la formula dovrebbe essere $(f@gamma)'(t_0)=grad(f)(t_0)*dotgamma$ ma come si applica????
grazie !!!
La formula è sostanzialmente corretta ma preferirei riscriverla come segue:
$F^{'}(t)=\nabla f(g(x),g(y)) \cdot \nabla g(x,y) $
poiché $f(x,y)$ e $g(x,y)$ sono campi vettoriali.
Il gradiente di $f(\cdot,\cdot)$ è ovviamente una matrice $2 \times 2$.
Inizia dal calcolo di questa matrice e poi sostituisci :
$x \rightarrow g(x)$
$y \rightarrow g(y)$.
Poi calcola il gradiente di $g(\cdot,\cdot)$ che è ovviamente una matrice $2 \times 2$ e successivamente procedi al calcolo del prodotto matriciale.
Otterrai a questo punto una matrice $2 \times 2$ strutturata come segue:
\begin{Bmatrix} \frac{\partial F_1}{\partial x} & \frac{\partial F_2}{\partial x} \\
\frac{\partial F_1}{\partial y} & \frac{\partial F_2}{\partial y}
\end{Bmatrix}
Per ottenere le derivate parziali della funzione $F$ sommi per righe.
Prova a fare i calcoli e confrontare con la soluzione ottenuta col metodo 1)!
chiarissima ! solo una cosa, poiché a me interessa $F=g@f$, la formula $F′(t)=∇f(g(x),g(y))⋅∇g(x,y)$ non dovrebbe essere: $F(t)=∇g(f(x),f(y))⋅∇f(x,y)$ ?
! solo una cosa, poiché a me interessa $F=g@f$, la formula $F′(t)=∇f(g(x),g(y))⋅∇g(x,y)$ non dovrebbe essere: $F(t)=∇g(f(x),f(y))⋅∇f(x,y)$ ?
non mi trovo, con entrambe le formule ! T-T
metodo 1 e 2 mi escono diversi
non è che è prodotto scalare???
metodo 1 e 2 mi escono diversi
"Clorinda":
e successivamente procedi al calcolo del prodotto matriciale.
non è che è prodotto scalare???
"miry77":
chiarissima
Sì, hai ragione, mi sono confusa perché nella seconda parte del tuo primo post ho visto
$ (f@gamma)'(t_0)=grad(f)(t_0)*dotgamma $
e quindi ho pensato che fosse $F=f@g$ e non $F=g@f$.
"miry77":
non mi trovo, con entrambe le formule ! T-T
metodo 1 e 2 mi escono diversi
[quote="Clorinda"] e successivamente procedi al calcolo del prodotto matriciale.
non è che è prodotto scalare???[/quote]
$\alpha)$ Come ti viene seguendo il procedimento 1)?
$\beta)$ Se tu avessi delle matrici riga o colonna ($1 \times n$; $m \times 1$) non avrei dubbi a risponderti di sì.
Ovviamente in tal caso otterresti una matrice $1 \times 1$.
Tuttavia per questa situazione, ho trovato degli esempi che parlano esplicitamente di prodotto matriciale.
Se vuoi, cfr questo link:
http://dm.ing.unibs.it/~riccarda.rossi/Teaching/esercizi%20svolti%20aa.%202009-2010/derivata_funzione_composta.pdf
mi esce cosi!!!
si, è prodotto matriciale, ma continuo a non trovarmi ...
"miry77":
metodo 1). componendo e ottenendo $F$ e calcolando le derivate, ho ottenuto:
$F_x=(e^(xy)+xye^x, ye^x+xye^x)$
$F_y=(x^2e^(xy), xe^x)$
si, è prodotto matriciale, ma continuo a non trovarmi ...
"miry77":[/quote]
mi esce cosi!!!
[quote="miry77"]
metodo 1). componendo e ottenendo $F$ e calcolando le derivate, ho ottenuto:
$F_x=(e^(xy)+xye^x, ye^x+xye^x)$
$F_y=(x^2e^(xy), xe^x)$
Giusto, me l'ero perso qualche post sopra;
ora mi metto a fare io i conti, vediamo se tiro fuori qualcosa che abbia senso!
Ahahaha tranquilla ! ok, attendo tue notizie 
credo di aver trovato l'errore ! io considero la Jacobiana come simmetrica di quella che hai scritto tu...e quindi una volta mi sa che l'ho fatta come la mia e una volta come la tua e mi sono persa in questo miscuglio !
"miry77":
credo di aver trovato l'errore ! io considero la Jacobiana come simmetrica di quella che hai scritto tu...e quindi una volta mi sa che l'ho fatta come la mia e una volta come la tua e mi sono persa in questo miscuglio !
Non ho avuto tempo per fare i conti; hai controllato se effettivamente viene correggendo l'errore che hai trovato?
sisi ! si trova
"miry77":
sisi ! si trova
Ottimo!
Grazie mille ! Sei stata gentilissima e chiarissima
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