Derivata funzione definita a tratti

[Carminep12]

Se ho una funzione definita a tratti, ad esempio:
per x diverso da 0 f(x) =(sin(x-1)/(x-1)) e per x =1 f(x) =1

Perché, da ciò che ho notato, per calcolare il valore delle derivate n-esime di f devo fare necessariamente, nel caso x=1, il limite del rapporto incrementale e vederne il valore e non posso calcolare direttamente la derivata di 1 per la derivata prima, che è zero, è poi di zero per tutte le derivate successive, ed uscirebbe sempre zero. Ovviamente la derivata per x diverso da zero invece si prende direttamente derivando la funzione per tali valori senza necessità di fare il limite del rapporto incrementale...

Dunque : perché per x=1 non posso derivare direttamente e invece in tutto gli altri punti si? Grazie mille.

[dissonance]

Perché la derivata di una funzione non dipende solo dal valore della funzione in un punto, ma dai valori che la funzione assume in tutto un intorno.

[Carminep12]

Quindi è sempre necessario fare così in questi casi? Grazie della risposta.

[dissonance]

Certamente. Ogni volta che hai anche un minimo dubbio sulla derivabilità in un punto, rapporto incrementale. Sempre.

[Carminep12]

Perfetto, grazie mille.