Derivata funzione composta

[Newton_1372]

In un libro c'è scritto che per una funzione convessa
$f(\vec x) = \int_0^1 (df(t\vec x))/(dt) dt$
e questo segue dal teorema fondamentale dall'algebra. Poi si applica la chain rule
$(df(tx))/dt = (df(t\vec x))/(dtx_j) x_j$

Ma nel libro il risultato esatto è
$f(\vec x) = \int_0^1 (\partial(f))/(\partial x_j) x_j dt$

Quindi la t è scomparsa nell'argomento della derivata. Com'è possibile?

In genere derivare rispetto a txj non è equivalente a derivare rispetto a xj, per esempio se prendo

$G(tx,ty) = tx+(ty)^2$
si ha
$dG/(dtx) = 1$
ma
$dG/(dx) = t$

Il risultato che mi aspetterei è

$(df(tx))/dt = \frac{1}{t} (df(tx))/(dx_j) x_j$

[Oznerol.92]

Fai un po'di confusione...
Allora intanto \(\displaystyle f \) non penso sia convessa ma \(\displaystyle C^1 \) e tale che \(\displaystyle f(0)=0 \).
Poi non usi il teorema fondamentale dell'algebra ma il teorema fondamentale del calcolo.
La regola della catena per le funzioni \(\displaystyle f: \mathbb R^n \rightarrow \mathbb R \) ti dice che

\(\displaystyle \frac{df(tx)}{dt}= \nabla f (tx) \cdot x \)

Con "\(\displaystyle \cdot \)" il prodotto scalare! Non confondere le derivate parziali con il gradiente, dimensionalmente sono cose diverse.