Derivata funzione a due variabili

qwerty901
Salve!
Non riesco a fare la derivata rispetto a x di:

f(x,y) = $(delf)/(delx)(x,y(x)) + (delf)/(dely)(x,y(x))* dy/dx $

Dovrebbe essere:
$(del^2f(x,y(x)))/(delx^2) + [(delf(x,y(x)))/(dely*delx)* dy/dx + (delf(x,y(x)))/(dely)* (d^2y/dx^2) $

Ma il risultato è :
$(del^2f(x,y(x)))/(dely*delx) + ((del^2f(x,y(x)))/(dely^2))*(dy/dx)*(dx/dy) + ((delf(x,y(x)))/dely)*(d^2y/dx^2)$

Me lo spiegate?grazie

Risposte
gugo82
Si tratta di derivare una funzione composta...

Nota che al primo membro dovresti cambiare il nome della funzione, perchè al secondo c'è già [tex]$f$[/tex] ed essa è funzione di una sola variabile.

Ad ogni modo, chiamando [tex]$g$[/tex] la funzione di [tex]$x$[/tex] al primo membro della suddetta prima uguaglianza, i.e.:

[tex]$g(x):=\tfrac{\partial f}{\partial x}(x,y(x)) +\tfrac{\partial f}{\partial y}(x,y(x))\ y^\prime (x)$[/tex]

e denotando con l'apice la derivata rispetto ad [tex]$x$[/tex], si ha:

[tex]$g^\prime = \langle \nabla \tfrac{\partial f}{\partial x} ,(1,y^\prime)\rangle + \langle \nabla \tfrac{\partial f}{\partial y} ,(1,y^\prime)\rangle\ y^\prime + \tfrac{\partial f}{\partial y}\ y^{\prime \prime}$[/tex]

[tex]$=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\ y^\prime + \frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\ y^\prime + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\ (y^\prime)^2 +\frac{\partial f}{\partial y}\ y^{\prime \prime}$[/tex]

[tex]$=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + 2\frac{\partial^2 f}{\partial x\partial y}\ y^\prime + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}\ (y^\prime)^2 +\frac{\partial f}{\partial y}\ y^{\prime \prime}$[/tex].

Quindi non vedo come derivando [tex]$g$[/tex] rispetto ad [tex]$x$[/tex] possa uscire quella roba che riporti.
Che roba è? Fisica Matematica?

qwerty901
"gugo82":


Quindi non vedo come derivando [tex]$g$[/tex] rispetto ad [tex]$x$[/tex] possa uscire quella roba che riporti.
Che roba è? Fisica Matematica?


E' una cosa che deriva dal teorema del Dini. Comunque non so perchè ma la tua scrittura mi è più chiara.
Grazie mille :wink:

gugo82
Ah, tipo stai provando a dimostrare che se [tex]$f(x,y)$[/tex] è abbastanza regolare allora pure la funzione implicitamente definita [tex]$y$[/tex] è abbastanza regolare... Capisco.

Ad ogni modo l'ultima formula che riporti non sta né in cielo né in terra, direi.

qwerty901
"gugo82":
Ah, tipo stai provando a dimostrare che se [tex]$f(x,y)$[/tex] è abbastanza regolare allora pure la funzione implicitamente definita [tex]$y$[/tex] è abbastanza regolare... Capisco.

si esatto
"gugo82":

Ad ogni modo l'ultima formula che riporti non sta né in cielo né in terra, direi.

Concordo e me ne vergogno :lol:

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