Derivata e rapporto incrementale.

[Pierlu11]

Facendo degli esercizi di Analisi mi sono trovato davanti a una cosa paradossale (per me)...
Come è possibile che può succedere che $ lim_{x->x_0}f'(x) $ è diverso da $ lim_{h->0}(f(x_0+h)-f(x_0))/h $ (rapporto incrementale)?
Cioè se la derivata è il limite del rapporto incrementale per $ h->0 $ , perché possono avere un comportamento diverso?

Questo vorrebbe dire che se la derivata di una funzione è continua in un punto, la funzione è derivabile in quel punto; ma non è detto il viceversa... perché?

[Rigel1]

Può succedere per il semplice fatto che esistono funzioni derivabili la cui derivata non è continua.
Un esempio classico è
\[
f(x) := \begin{cases}
x^2 \sin (1/x), & \text{se}\ x\neq 0,\\
0, & \text{se}\ x=0,
\end{cases}
\]
che è derivabile in tutto \(\mathbb{R}\) ma ha derivata non continua in \(x=0\).

D'altra parte, il risultato che citi:

Sia \(f:(a,b)\to\mathbb{R}\) una funzione continua e sia \(x_0\in (a,b)\); supponiamo che \(f\) sia derivabile in \((a,b)\setminus \{x_0\}\) e che esista il limite
\[
\lim_{x\to x_0} f'(x) = l.
\]
Allora esiste anche il limite
\[
\lim_{x\to x_0} \frac{f(x) - f(x_0)}{x-x_0}
\]
e vale \(l\).

è solo una condizione sufficiente di esistenza del limite del rapporto incrementale che segue direttamente dall'applicazione della regola di l'Hopital.