Derivata e differenziale sono la stessa cosa??
La mia prof di analisi mi ha dato le seguenti definizioni di differenziale e derivata:
$AsubeRR$ $x_0$ di accumulazione per A
$f: ArarrRR$ è differenziabile in $x_0$ se $EE\lambdainRR$ : $(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)rarr\lambda$ per $xrarrx_0$
$\lambda$ si chiama differenziale di $f$ nel punto $x_0$
$f: ArarrRR$ $x_0$ di accumulazione
$f$ è derivabile in $x_0$ $\Leftrightarrow$ $EElim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)= f'(x_o)$
$f'(x_0)$ si chiama derivata di f nel punto $x_0$
A me sembrano due definizioni identiche. Mi sembra di leggere che $\lambda$ e la derivata siano la stessa cosa..e non credo sia possibile visto che hanno nomi diversi.
quindi che differenza c'è tra differenziale e derivata??
$AsubeRR$ $x_0$ di accumulazione per A
$f: ArarrRR$ è differenziabile in $x_0$ se $EE\lambdainRR$ : $(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)rarr\lambda$ per $xrarrx_0$
$\lambda$ si chiama differenziale di $f$ nel punto $x_0$
$f: ArarrRR$ $x_0$ di accumulazione
$f$ è derivabile in $x_0$ $\Leftrightarrow$ $EElim_(x->x_0)(f(x)-f(x_0))/(x-x_0)= f'(x_o)$
$f'(x_0)$ si chiama derivata di f nel punto $x_0$
A me sembrano due definizioni identiche. Mi sembra di leggere che $\lambda$ e la derivata siano la stessa cosa..e non credo sia possibile visto che hanno nomi diversi.
quindi che differenza c'è tra differenziale e derivata??
Risposte
Ciao!
Non riesco a caire perchè ti abbia dato quella definizione di differenziale,che io definirei come ($df'(x)$=differenziale)
$df'(x)=f'(x)(x-x_0)$ , cioè il differenziale rappresenta l'incremento della funzione sulla retta tangente il grafico della funzione nel punto ($x_0$;$f(x_0)$).
Detta così non dice molto ma con qualche disegno è subito chiaro.
Il differenziale non è la derivata
Non riesco a caire perchè ti abbia dato quella definizione di differenziale,che io definirei come ($df'(x)$=differenziale)
$df'(x)=f'(x)(x-x_0)$ , cioè il differenziale rappresenta l'incremento della funzione sulla retta tangente il grafico della funzione nel punto ($x_0$;$f(x_0)$).
Detta così non dice molto ma con qualche disegno è subito chiaro.
Il differenziale non è la derivata
Secondo me, la tua prof dovrebbe andare in pensione. Quando mai il differenziale e la derivata sono la stessa cosa?
Prova a rivedere i concetti nel tuo libro di analisi o in quelli delle superiori.
La definizione di Lazar è esatta.
Prova a rivedere i concetti nel tuo libro di analisi o in quelli delle superiori.
La definizione di Lazar è esatta.
Allora vediamo se ho capito
Prendo un punto $(x_0;f(x_o))$ e la retta tangente ad essa. Poi considero l'incremento $df$ sulla retta tangente ad un incremento $dx$. Il differenziale nel punto $x_0$ risulta essere l'incremento $df$ sulla retta tangente ed è perciò $df(x_0)=f'(x_0)dx$ dove $f'(x_0)$ è la derivata in $x_0$ e quindi il coefficiente angolare della retta tangente.
Perciò il differenziale risulta essere un'approssimazione della funzione giusto??
quindi se $dx$ tende a zero, $df(x_0)$ tende a $f'(x_0)$. O è una cavolata??
Grazie per l'aiuto
Prendo un punto $(x_0;f(x_o))$ e la retta tangente ad essa. Poi considero l'incremento $df$ sulla retta tangente ad un incremento $dx$. Il differenziale nel punto $x_0$ risulta essere l'incremento $df$ sulla retta tangente ed è perciò $df(x_0)=f'(x_0)dx$ dove $f'(x_0)$ è la derivata in $x_0$ e quindi il coefficiente angolare della retta tangente.
Perciò il differenziale risulta essere un'approssimazione della funzione giusto??
quindi se $dx$ tende a zero, $df(x_0)$ tende a $f'(x_0)$. O è una cavolata??
Grazie per l'aiuto
Esattamente!!
Il differenziale può proprio rappresentare un metodo per l'approssimazione di una funzione che risulti difficile da calcolare,o per lo meno risulti più semplice il calcolo della sua derivata! Non è vero invece che se $dx$ tende a zero $f(x_0)$ tende a $f'(x_0)$. Basta pensare che la derivata è una tangente mentre il differenziale è omogeneo alla variabile dipendente.
Ciao!!
Il differenziale può proprio rappresentare un metodo per l'approssimazione di una funzione che risulti difficile da calcolare,o per lo meno risulti più semplice il calcolo della sua derivata! Non è vero invece che se $dx$ tende a zero $f(x_0)$ tende a $f'(x_0)$. Basta pensare che la derivata è una tangente mentre il differenziale è omogeneo alla variabile dipendente.
Ciao!!
"Sam89":ehm, sì
quindi se $dx$ tende a zero, $df(x_0)$ tende a $f'(x_0)$. O è una cavolata??
$df(x_0)$ è una applicazione lineare, per la precisione l'applicazione che manda $t$ in $f'(x_0) \cdot t$.
Puoi anche vederla come l'applicazione lineare $dx$ (che manda $t$ in $t$) moltiplicata per $f'(x_0)$.
Questa applicazione lineare non dipende da $dx$.
Probabilmente hai espresso male quello che intendevi dire.
Se vuoi, prova a riformulare il tuo pensiero.
"Sam89":Sì.
Perciò il differenziale risulta essere un'approssimazione della funzione giusto??
Per la precisione, la funzione che a $x$ associa $df(x_0) (x - x_0)$ è la migliore approssimazione locale (del primo ordine) per l'incremento della funzione, cioè $f(x) - f(x_0)$.
Detto altrimenti, la funzione $x \mapsto f(x_0) + df(x_0) (x - x_0)$ è la migliore approssimazione locale (del primo ordine) per la funzione $f$. Ovviamente "locale" si riferisce alle vicinanze del punto $x_0$.
Ok..va bene..quello che ho capito per adesso mi può bastare ... poi se ho altri problemi ve li posto..
Grazie mille a tutti
... poi se ho altri problemi ve li posto..Grazie mille a tutti
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