Derivata e differenziale
Ciao ragazzi,
Ho una domanda molto banale. Qual é la differenza tra differenziale e derivata?
Consideriamo una funzione $ f(x)=x^2 $, allora la sua derivata é
$ \frac{d f(x)}{dx} = 2x $
la quale esprime il rapporto tra una variazione in $f$ dovuta ad una variazione in $x$.
D'altra parte, il differenziale della stessa funzione é
$ d f(x) = 2x dx $
il quale esprime la variazione di $f$ dovuta ad una variazione in $x$.
Infatti, le due definizioni coincidono se si moltiplica o divide per $dx$, ma so che ció non é ben visto in matematica dato che $dx$ é una quantitá infinitamente piccola.
Perció, qual é la differenza formale tra le due definizioni? Perché alle volte nei testi si usa l'una anziché l'altra?
Ho una domanda molto banale. Qual é la differenza tra differenziale e derivata?
Consideriamo una funzione $ f(x)=x^2 $, allora la sua derivata é
$ \frac{d f(x)}{dx} = 2x $
la quale esprime il rapporto tra una variazione in $f$ dovuta ad una variazione in $x$.
D'altra parte, il differenziale della stessa funzione é
$ d f(x) = 2x dx $
il quale esprime la variazione di $f$ dovuta ad una variazione in $x$.
Infatti, le due definizioni coincidono se si moltiplica o divide per $dx$, ma so che ció non é ben visto in matematica dato che $dx$ é una quantitá infinitamente piccola.
Perció, qual é la differenza formale tra le due definizioni? Perché alle volte nei testi si usa l'una anziché l'altra?
Risposte
Ad esempio, sei in un punto e vuoi vedere quanto cambia la tua funzione al variare di x, usi il differenziale.
Sei su una curva, vuoi conoscere la pendenza usi la derivata
Sei su una curva, vuoi conoscere la pendenza usi la derivata
Lettura molto interessante ed esaudiente. Grazie!
In $RR$ i concetti di derivata e differenziale sono equivalenti. in $RR^n$ no, la differenziabilità in questo caso è più forte e implica l'esistenza di un piano tangente nel punto dato che contine tutte le derivate direzionali in quel punto, non solo le derivate lungo gli assi coordinati. In pratica il differenziale è la formula di Taylor troncata al primo ordine.
Equivalenti mica tanto, la derivata ha natura puntuale, il differenziale molto meno
"Lucacs":
Equivalenti mica tanto, la derivata ha natura puntuale, il differenziale molto meno
Non è questo il punto.
La derivata è un numero.
Il differenziale è una funzione.
Ciao ragazzi,
Mi allaccio a questa discussione che ho aperto tempo fa per un ulteriore dubbio. Parto dal presupposto che la differenza tra derivata e differenziale mi é ora chiara, essendo la prima un numero e la seconda una funzione.
Tuttavia, leggendo diversi articoli o libri di testo, mi imbatto spesso nella notazione $\delta x$ anziché $d x$. Ad esempio, anziché scrivere $\frac{d f}{d x}$ viene riportato $\frac{\delta f}{\delta x}$. Domanda: si tratta della stessa cosa o c'é una sottile distinzione tra le due notazioni? Se si, quando usare l'una piuttosto che l'altra?
Se la domanda non é chiara, provo a riportare qualche esempio. Grazie.
Mi allaccio a questa discussione che ho aperto tempo fa per un ulteriore dubbio. Parto dal presupposto che la differenza tra derivata e differenziale mi é ora chiara, essendo la prima un numero e la seconda una funzione.
Tuttavia, leggendo diversi articoli o libri di testo, mi imbatto spesso nella notazione $\delta x$ anziché $d x$. Ad esempio, anziché scrivere $\frac{d f}{d x}$ viene riportato $\frac{\delta f}{\delta x}$. Domanda: si tratta della stessa cosa o c'é una sottile distinzione tra le due notazioni? Se si, quando usare l'una piuttosto che l'altra?
Se la domanda non é chiara, provo a riportare qualche esempio. Grazie.
Sono notazioni “tecniche”, non si usano tanto in matematica pura quanto in scienze ed ingegneria. La mia impressione è che si tratti di notazioni di vecchia scuola che in matematica sono cadute in disuso. Per esempio, a volte si usa il delta per la “derivata funzionale”, oppure si usa in termodinamica, per un tipo di derivata che si fa lì e che devo confessare, più di dieci anni dopo il mio esame di Fisica 1, di non avere mai capito.
....oppure si usa in termodinamica, per un tipo di derivata che si fa lì e che devo confessare, più di dieci anni dopo il mio esame di Fisica 1, di non avere mai capito.
Il simbolo $delta$ non è usato in termodinamica per indicare un tipo di derivata "che non hai mai capito” .
A volte trovi scritto il primo principio della termodinamica in questa forma ( si usano lettere minuscole per le grandezze in gioco per indicare quantità specifiche, cioè riferite all’unità di massa) :
$ delta q = du + delta l$
dove con $deltaq$ e $deltal$ si indicano non dei differenziali ma proprio delle “piccole” quantità di calore e di lavoro che un sistema scambia con l’esterno ; non sono differenziali di alcuna funzione, in quanto gli scambi di calore e di lavoro dipendono strettamente dalle modalità in cui avvengono questi scambi. Per esempio, si possono avere trasformazioni isoterme, adiabatiche, isocore, isobare...
Invece $du$ è proprio il differenziale della funzione di stato $u=u(v,p,T) $ detta "energia interna” del sistema, che dipende da pressione, volume, e temperatura assoluta: ma si possono scegliere anche altre grandezze termodinamiche da cui far dipendere le funzioni di stato; nella maggioranza dei casi si scelgono queste perché sono in un certo senso più importanti, e più facili da maneggiare.
Quindi, se sul piano Clapeyron $(p,v)$ disegni una trasformazione ciclica chiusa (ammesso che sia possibile disegnarla...ci sono trasformazioni dette irreversibili che non è neanche possibile rappresentare con una linea; ma ora non mi metto a fare lezioni di termodinamica, perché non sono all’altezza e non voglio fare l’alba ...!) , la variazione complessiva dell’energia interna è nulla perché $du$ è un differenziale e il sistema ritorna nello stato iniziale. Invece la variazione complessiva di calore (energia termica) e di lavoro non sono nulle, e dipendono dal ciclo assunto.
Ma ci sono tante precisazioni che si dovrebbero fare: la Termodinamica non ha formule difficili, ad essere difficili sono i concetti.
Comunque qui lo scopo era di chiarire l’uso di $delta$ in questa disciplina. E non tutti gli autori la usano, anzi ti dirò che trovi spesso scritto :
$dq = du + dl$
e allora nasce qualche confusione. Ciao dissonance, ai miei inizi qui facevi il moderatore.
Ok, quindi $du$ rappresenta il differenziale della funzione $u$, mentre $\delta u$ rappresenta una piccola quantitá di $u$? Hmm, non mi é completamente chiaro. Shackle fa riferimento alla termodinamica, ma questa notazione l'ho vista applicare in molti libri di fisica/ingegneria.
Riporto qui un esempio. Per la coppia $Q$ e la variable $r$ viene qui utilizzata la notazione $d$.
Poche pagine dopo, ecco che appaiono le stesse quantitá ma con notazione $\delta$.
É l'autore che si diverte a confondere il lettore, oppure c'é qualche differenza formale tra le due notazioni?
Riporto qui un esempio. Per la coppia $Q$ e la variable $r$ viene qui utilizzata la notazione $d$.
Poche pagine dopo, ecco che appaiono le stesse quantitá ma con notazione $\delta$.
É l'autore che si diverte a confondere il lettore, oppure c'é qualche differenza formale tra le due notazioni?
Ok, quindi $du$ rappresenta il differenziale della funzione u, mentre $deltau$ rappresenta una piccola quantitá di u? Hmm, non mi é completamente chiaro.
Prima sgombro subito il campo da un equivoco, o meglio una imprecisione (forse suggerita da me perché non sono stato molto chiaro?) Quando in termodinamica parli di “funzioni di stato” , come energia interna, entalpia, entropia ecc ecc. , usi sempre $du$ per indicare il differenziale, non usi mai $deltau$ , poiché si potrebbe credere proprio ciò che hai creduto tu, e non é corretto. Le due cose : “differenziale” e “piccola quantità” di una certa grandezza, non vanno confuse. Ho fatto l’esempio del primo principio della T. proprio per evidenziare la differenza tra $du $ e $deltaq , deltal$ .
Ma a parte la termodinamica, puoi trovare in giro tanti libri e dispense dove, come ho accennato, l’autore usa indifferentemente il $d$ oppure il $delta$ per indicare piccole quantità. Non te ne devi preoccupare eccessivamente, più che la scrittura rigorosa devono essere rigorosi i concetti. Ci farai l’abitudine, specie se studi ingegneria.
Ti faccio un esempio a volo, preso dalla matematica e non dall’ingegneria.
Considera una cerchio di raggio $R$. Una circonferenza concentrica di raggio $r
$A_c = int_0^R 2pirdr = piR^2$
Adesso magari ho usato dei termini non rigorosamente matematici, e mi aspetto qualche correzione...
Però a volte occorre tirare per dritto senza fare troppi sofismi...Come fanno certi urang-utang (termine coniato da Fioravante Patrone, che ha scritto pure una dispensa dal titolo “chi è dx ? )
Leggi un po’ qui , e altri thread analoghi.
@Shackle: ci si ritrova, che piacere. Ricordo alcune conversazioni con te nella stanza di Fisica, mi sono state utili all’università. Grazie mille per il ripasso di termodinamica. Mi è piaciuta la tua analisi; in termodinamica la difficoltà non sta tanto nelle formule, ovvero nel lato matematico, quanto nei concetti. Sarà per quello che per un matematico è difficile. Forse dovrei abbassare la mia presunzione; è difficile *per me*, per i matematici in generale non lo so.
@luc: le notazioni non sono standard, cambiano sempre tra uno scritto e un altro. Inoltre, come immaginavo, tu stai leggendo di ingegneria. E quindi sei in un mondo diverso da quello della matematica pura. Tutto questo per dire che non ho idea di cosa voglia dire questo \(\delta Q\).
@luc: le notazioni non sono standard, cambiano sempre tra uno scritto e un altro. Inoltre, come immaginavo, tu stai leggendo di ingegneria. E quindi sei in un mondo diverso da quello della matematica pura. Tutto questo per dire che non ho idea di cosa voglia dire questo \(\delta Q\).
@dissonance
Si è bello ritrovarsi dopo vari anni. Ora che fai di bello?
$deltaQ$ non è altro che una piccola quantità di energia termica che un sistema scambia con l’esterno. Esempio banalissimo: riempi un pentolino di acqua del rubinetto, supponiamo con 500 grammi di acqua; misura la temperatura $T_1$ dell’acqua. Poi metti il pentolino a scaldare sul gas. Dopo un po’ lo togli, ma fa’ in modo di toglierlo prima che l’acqua bolla. Misura nuovamente la temperatura $T_2$. La quantità di calore assorbita dall’ acqua è $ DeltaQ =mcDeltaT$ . L’acqua allo stato liquido è praticamente incomprimibile, per cui il calore specifico $c$ è uno solo e puoi ritenerlo costante ( la variazione di c con la temperatura qui si può trascurare: non faccio sofisticazioni
).
@luc : procurati il libro “Che cos’è la matematica? “ di Courant e Robbins , ed. Boringhieri, e leggi a pag 525 e seguenti, circa la notazione di Leibniz: molto chiaro.
Si è bello ritrovarsi dopo vari anni. Ora che fai di bello?
$deltaQ$ non è altro che una piccola quantità di energia termica che un sistema scambia con l’esterno. Esempio banalissimo: riempi un pentolino di acqua del rubinetto, supponiamo con 500 grammi di acqua; misura la temperatura $T_1$ dell’acqua. Poi metti il pentolino a scaldare sul gas. Dopo un po’ lo togli, ma fa’ in modo di toglierlo prima che l’acqua bolla. Misura nuovamente la temperatura $T_2$. La quantità di calore assorbita dall’ acqua è $ DeltaQ =mcDeltaT$ . L’acqua allo stato liquido è praticamente incomprimibile, per cui il calore specifico $c$ è uno solo e puoi ritenerlo costante ( la variazione di c con la temperatura qui si può trascurare: non faccio sofisticazioni
).@luc : procurati il libro “Che cos’è la matematica? “ di Courant e Robbins , ed. Boringhieri, e leggi a pag 525 e seguenti, circa la notazione di Leibniz: molto chiaro.
Grazie ad entrambi per le risposte.
L'esempio dell'area del cerchio che tu hai riportato, é esattamente uguale a quello che ho riportato nella seconda immagine allegata. L'autore definisce una quantitá infinitesimale di coppia come
$$ \delta Q = f(r) \delta r $$
e per derivate $Q$ integra, ottenendo
$$ Q = \int_0^R f(\mu) d \mu$$
Seguendo questo ragionamento, la quantitá $\delta Q$ viene considerata proprio uguale al differenziale $dQ$.
Accetto il tuo ragionamento sulla termodinamica, dove si hanno funzioni di stato che ammettono differenziale esatto e funzioni non di stato che hanno differenziale non esatto. Questo potrebbe spiegare la scelta $\delta Q$ per la coppia. Tuttavia, $r$ é una variabile, e dato che siamo abituati a scrivere $dx$, mi fa strano leggere $\delta r$.
Giusto per curiositá, abbandonando la termodinamica, come interpreteresti le scritture $dr$ e $\delta r$ dove $r$ é una variabile indipendente?
L'esempio dell'area del cerchio che tu hai riportato, é esattamente uguale a quello che ho riportato nella seconda immagine allegata. L'autore definisce una quantitá infinitesimale di coppia come
$$ \delta Q = f(r) \delta r $$
e per derivate $Q$ integra, ottenendo
$$ Q = \int_0^R f(\mu) d \mu$$
Seguendo questo ragionamento, la quantitá $\delta Q$ viene considerata proprio uguale al differenziale $dQ$.
Accetto il tuo ragionamento sulla termodinamica, dove si hanno funzioni di stato che ammettono differenziale esatto e funzioni non di stato che hanno differenziale non esatto. Questo potrebbe spiegare la scelta $\delta Q$ per la coppia. Tuttavia, $r$ é una variabile, e dato che siamo abituati a scrivere $dx$, mi fa strano leggere $\delta r$.
Giusto per curiositá, abbandonando la termodinamica, come interpreteresti le scritture $dr$ e $\delta r$ dove $r$ é una variabile indipendente?
Guarda, io in genere vado cauto nell’uso di “infinitesimale” o “infinitesimo “ , perché c’è sempre l’idea dì qualcosa che tende zero, pur non diventando zero. Preferisco ragionare in termini di quantità piccola, come dr. Lo so che la chiarezza non è massima qui, ma aspetta magari che cosa dice @dissonance, e leggi la storia della notazione di Leibniz . Però non sbatterci troppo la testa su questa cosa.
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