Derivata e cuspide

[angeloferrari]

studiando questa funzione $exp(-|x|)ln(|x-4|)$ sono incapatto nel seguente dubbio, dopo aver definito la funzione a tratti(3 ma non sto a scrivere tutto perché sarebbe lungo),

per $x<=0$ ho $f(x)=e^x ln(4-x)$ la cui derivata è

$f'(x)=e^x ln(4-x) - e^x 1/(4-x)$ ponendo la derivata uguale a $0$ e dividendo per $e^x$ ottengo $ln(4-x)=1/(4-x)$

che non è mai verificata per $x<0$ , come faccio a capire che c'è una cuspide, e che questa cuspide è in $0$?

forse sfruttando il fatto che la funzione è positiva per $x<0$ e che poi per $x-->4^-$ va a $-infty$ e anche se la derivata non si annulla mai in questo intervallo deve per forza esserci un punto angoloso o una cuspide, ma perché proprio una cuspide e perché proprio in $0$?

[angeloferrari]

cioè forse ho capito, basta dimostrare che in $0$ f non è derivabile e trovare a cosa tende il rapporto incrementale, ma perché deve essere proprio lo $0$?

[ciampax]

Perché in $x=0$ il valore assoluto ad esponente cambia di segno, per cui hai una "separazione" della funzione in due rami diversi che non è detto si "leghino" bene. Comunque, io credo venga fuori un punto angoloso, più che una cuspide (almeno ad occhio).

[angeloferrari]

Grazie per l'aiuto, quindi per capire che è in $0$ basta solo ragionarci un po' in questo modo o c'è un modo per "capirlo senza pensare" tipo come trovare i minimi della funzione ? non so in una funzione simile con un $2$ al posto del $4$ nel logaritmo la prof ci disse che c'era una cuspide, però ora che mi ci fai guardare bene dal grafico fatto dal computer non si capisce bene se è cuspide o punto angoloso, se è una cuspide è piuttosto ampia

[angeloferrari]

ingrandendo sembra proprio un punto angoloso, occhio di falco!

[ciampax]

Ma perché, lo si vede dal grafico? Fai il limite del rapporto incrementale destro e sinistro in $x=0$ e vedi cosa accade: se vengono fuori due valori finiti ma diversi, è un punto angoloso, se vengono fuori due infiniti di segno opposto, è una cuspide.

[angeloferrari]

Si viene punto angoloso.. Il problema per me era come capire che c'era un punto di non derivabilità in cui la f invertiva il suo andamento.. Grazie mille per l'aiuto!