Derivata e approssimazione lineare

[Valerio801]

Supponiamo di avere una funzione $f$ derivabile in $x_0$. Sia $r$ la retta tangente al grafico di $f$ in $(x_0,f(x_0))$ con coefficiente angolare $f'(x_0)$. Si dice che $r$ approssima linearmente $f$ perchè $\lim_{x \to x_0}(f(x)-r(x))/(x-x_0)=0$. Non riesco a capire cosa rappresenta il rapporto scritto sopra e perchè è importante che tenda a 0 per dire che si ha una approssimazione lineare buona.

[theras]

Quel rapporto,se ci pensi,in ogni punto d'un opportuno intorno "bucato" di $x_0$ è la differenza tra il rapporto incrementale realtivo ad f nel punto $x_0$ ed il numero $f'(x_0)$ la cui esitenza hai ammesso:
ed il fatto che tale differenza tenda a 0 vuol dire che,in quell'opportuno intorno,
tale rapporto incrementale può esser "confuso" con $f'(x_0)$ a meno di una quantità trascurabile
(o infinitesima che dir si voglia..),
o se preferisci che in quell'intorno opportunamente piccolo la tua $f$ può "ragionevolmente" essere approssimata da quella tangente.
Saluti dal web.