Derivata distribuzionale.
Un piccolo favore.
Mi date la definizione rigoroso di derivata distribuzionale?
E mi fornite un esempio (possibilmente diverso dalla funzione di Heaviside)
Inoltre posso dire che se $f(x)$ e $f'(x) \in L_{Loc}^1$ allora la derivata distribuzionale coincide con la derivata classica?
Grazie
Mi date la definizione rigoroso di derivata distribuzionale?
E mi fornite un esempio (possibilmente diverso dalla funzione di Heaviside)
Inoltre posso dire che se $f(x)$ e $f'(x) \in L_{Loc}^1$ allora la derivata distribuzionale coincide con la derivata classica?
Grazie
Risposte
Nonostante non sia il mio campo provo a risponderti, poi magari qualcuno più esperto di me saprà correggermi.
Sia $T in D'$ una distribuzione qualunque, si definisce $T'$ in modo tale che:
$ = - ; AA phi in D$.
Ho indicato con $D$ lo spazio delle funzioni test, e con $D'$ il suo duale.
Esempio: ( ora indico con D la derivazione )
$< D|x|, phi > = - < |x|, phi' > = - int_(-infty)^(+infty) |x|phi'(x)dx = int_(-infty)^0 xphi'(x)dx - int_0^(+infty) xphi'(x)dx = -int_(-infty)^0 phi(x)dx + int_0^(+infty) phi(x)dx = int_(-infty)^(+infty) sgn(x)phi(x)dx = < sgn(x), phi >$
quindi
$ D|x| = sgn(x)$ nel senso delle distribuzioni.
Sia $T in D'$ una distribuzione qualunque, si definisce $T'$ in modo tale che:
$
Ho indicato con $D$ lo spazio delle funzioni test, e con $D'$ il suo duale.
Esempio: ( ora indico con D la derivazione )
$< D|x|, phi > = - < |x|, phi' > = - int_(-infty)^(+infty) |x|phi'(x)dx = int_(-infty)^0 xphi'(x)dx - int_0^(+infty) xphi'(x)dx = -int_(-infty)^0 phi(x)dx + int_0^(+infty) phi(x)dx = int_(-infty)^(+infty) sgn(x)phi(x)dx = < sgn(x), phi >$
quindi
$ D|x| = sgn(x)$ nel senso delle distribuzioni.
Se f e f' appartengono a $L^1_{loc}$, la derivata distribuzionale coincide con la derivata debole (non quella classica, che in generale non esiste: vedi l'esempio fatto da luca con il modulo).
Se f e f' appartengono a $C^0$, la derivata distribuzionale coincide con la derivata classica.
Se f e f' appartengono a $C^0$, la derivata distribuzionale coincide con la derivata classica.
SI giusto...Grazie.
Per quanto riguarda la terza domanda?
se $f(x)$ e $f'(x) \in L_{Loc}^1$ allora la derivata distribuzionale coincide con la derivata classica?
TNX
Per quanto riguarda la terza domanda?
se $f(x)$ e $f'(x) \in L_{Loc}^1$ allora la derivata distribuzionale coincide con la derivata classica?
TNX
Ogni volta che esiste la derivata classica ed è in qualche
$L^p_(loc)$, allora coincide con quella distribuzionale.
$L^p_(loc)$, allora coincide con quella distribuzionale.
Ma allora cosa si intende per derivata debole?!?!?
$g$ è derivata debole di $f \in L^1_{loc} (\Omega)$ se $\int_\Omega{g \phi}=-\int_\Omega{f \phi '}$ $\forall \phi \in C^\infty_c (\Omega)$
Si, forse va precisato che la derivata distribuzionale esiste sempre, come distribuzione; quello che potrebbe non essere vero è che la derivata distribuzionale sia una funzione localmente sommabile. Se lo è allora si dice anche che è la derivata debole.
Ad esempio il modulo è derivabile debolmente, ed ha come derivata debole il segno. Il segno ha derivata distribuzionale, ma tale derivata non è una funzione localmente sommabile.
Ad esempio il modulo è derivabile debolmente, ed ha come derivata debole il segno. Il segno ha derivata distribuzionale, ma tale derivata non è una funzione localmente sommabile.
Si, forse va precisato che la derivata distribuzionale esiste sempre, come distribuzione; quello che potrebbe non essere vero è che la derivata distribuzionale sia una funzione localmente sommabile. Se lo è allora si dice anche che è la derivata debole.
Ad esempio il modulo è derivabile debolmente, ed ha come derivata debole il segno. Il segno ha derivata distribuzionale, ma tale derivata non è una funzione localmente sommabile.
Allora vediamo di ricapitolare...cosi verifico se ho capito.
La derivata debole è in sostanza la derivata distribuzionale nel caso che quest'ultima sia ancora $L_{Loc}^1$ se invece la derivata distribuzionale non è $L_{Loc}^1$ possiamo affermare che la derivata debole non esiste?
Giusto?
Grazie della pazienza.
Esatto, se una funzione ha la derivata distribuzionale che non è una funzione localmente sommabile, allora non è debolmente derivabile.
Grazie mille!!!
Come sempre molto gentile
Come sempre molto gentile
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