Derivata direzionale e versore.
Sera a tutti.
Scervellandomi nello studio delle funzioni in più variabili sono incappato nella derivata direzionale e nell'ipotesi che
\(\displaystyle |\vec v|_m \) .
Questa ipotesi mi ha tormentato tutt'oggi perché mi chiedevo a cosa servisse fissare la norma unitaria del vettore v lungo cui si fa l'incremento.
Ebbene cercando su internet non ero ancora soddisfatto e pensando un bel po' alla necessità di questa ipotesi(praticamente tutt'oggi) sono arrivato ad una conclusione sorprendente che mi ha fatto capire anche molte altre cose in diversi campi della matemaica e anche nella fisica.
In sostanza quello che penso è che se anche avessimo messo \(\displaystyle |\vec v|_m =k \) t.c. \(\displaystyle k \in \mathbb{N} \) la matematica non sarebbe di certo cambiata le relazioni i teoremi e quant'altro non sarebbero affatto cambiati a parte una certa "dilatazione" che però non avrebbe influito sui concetti cardini e profondi della matematica.Questo se k fosse stato sempre lo stesso, infatti se non avessimo definito una norma di v ognuno avrebbe potuto prendere il vettore che gli pareva( e quindi la norma che gli pareva avremo avuto: \(\displaystyle kf(x) = \frac{d} {dx} \int f(x) \) .
In questo modo ci sarebbe stata un'arbitrarietà della costante k che non sarebbe mai stata possibile determinare con condizioni di qualche tipo ma solo tramite arbitrarietà. Con quest'ultima conclusione appunto mi vegono in mente molti esempi fisici in cui l'arbitrarietà avrebbe potuto fare molti danni, ma questo concetto credo vada proprio contro la logica che si vuole avere in matematica.
Vi dico questo per avere conferme/smentite ed anche le osservazioni sono molto gradite
.
ps: la cosa sorprendente è che a volte nella matematica si trovano molte opzioni da poter prendere in considerazione per definire gli oggetti ma l'importante poi è esserre coerenti con una determinata scelta.(Penso anche alla definizione di carica positiva e negativa in fisica.)
Scervellandomi nello studio delle funzioni in più variabili sono incappato nella derivata direzionale e nell'ipotesi che
\(\displaystyle |\vec v|_m \) .
Questa ipotesi mi ha tormentato tutt'oggi perché mi chiedevo a cosa servisse fissare la norma unitaria del vettore v lungo cui si fa l'incremento.
Ebbene cercando su internet non ero ancora soddisfatto e pensando un bel po' alla necessità di questa ipotesi(praticamente tutt'oggi) sono arrivato ad una conclusione sorprendente che mi ha fatto capire anche molte altre cose in diversi campi della matemaica e anche nella fisica.
In sostanza quello che penso è che se anche avessimo messo \(\displaystyle |\vec v|_m =k \) t.c. \(\displaystyle k \in \mathbb{N} \) la matematica non sarebbe di certo cambiata le relazioni i teoremi e quant'altro non sarebbero affatto cambiati a parte una certa "dilatazione" che però non avrebbe influito sui concetti cardini e profondi della matematica.Questo se k fosse stato sempre lo stesso, infatti se non avessimo definito una norma di v ognuno avrebbe potuto prendere il vettore che gli pareva( e quindi la norma che gli pareva avremo avuto: \(\displaystyle kf(x) = \frac{d} {dx} \int f(x) \) .
In questo modo ci sarebbe stata un'arbitrarietà della costante k che non sarebbe mai stata possibile determinare con condizioni di qualche tipo ma solo tramite arbitrarietà. Con quest'ultima conclusione appunto mi vegono in mente molti esempi fisici in cui l'arbitrarietà avrebbe potuto fare molti danni, ma questo concetto credo vada proprio contro la logica che si vuole avere in matematica.
Vi dico questo per avere conferme/smentite ed anche le osservazioni sono molto gradite
.ps: la cosa sorprendente è che a volte nella matematica si trovano molte opzioni da poter prendere in considerazione per definire gli oggetti ma l'importante poi è esserre coerenti con una determinata scelta.(Penso anche alla definizione di carica positiva e negativa in fisica.)
Risposte
Gli spazi $RR^n$ possono essere dotati di infinite norme, e si dimostra che sono tutte equivalenti, ma chiaramente un vettore che risulta un versore in una norma in generale non lo sarà rispetto ad un'altra; quindi finché non si fissa una norma parlare di lunghezza unitaria non ha molto senso. Fissata una norma, lo scegliere vettori di lunghezza unitaria mi sembra la scelta più logica. Ragionando "a spanne": per rendere i risultati omogenei/confrontabili non si può derivare lungo vettori qualsiasi (basti pensare ad una stessa funzione derivata lungo una stessa direzione con vettori diversi: il risultato differirà per una costante moltiplicativa), come hai detto tu bisogna scegliere un valore convenzionale per la lunghezza dei vettori lungo i quali derivare, e scegliere come valore proprio $1$ permette di non avere costanti moltiplicative "extra" fra i piedi, fondamentalmente.
Per quanto riguarda l'interpretazione fisica aspetto qualcuno più competente, ma la mia opinione è che applicando sempre (almeno nella meccanica classica) come modello per lo spazio $RR^3$ e come modello per il concetto fisico di distanza la distanza euclidea, nel mio discorso precedente cade l'arbitrarietà della norma, quindi parlare di lunghezza unitaria è meno ambiguo; mentre il resto del discorso continua a valere: $1$ è molto comodo.
Per quanto riguarda l'interpretazione fisica aspetto qualcuno più competente, ma la mia opinione è che applicando sempre (almeno nella meccanica classica) come modello per lo spazio $RR^3$ e come modello per il concetto fisico di distanza la distanza euclidea, nel mio discorso precedente cade l'arbitrarietà della norma, quindi parlare di lunghezza unitaria è meno ambiguo; mentre il resto del discorso continua a valere: $1$ è molto comodo.
La definizione di derivata direzionale si può dare anche se la direzione non è unitaria, esattamente allo stesso modo in cui si dà per i versori; poi per omogeneità ci si può sempre ricondurre al caso in cui la direzione sia un versore, ma questo non sta normalmente nella definizione.
"Epimenide93":
Gli spazi $RR^n$ possono essere dotati di infinite norme, e si dimostra che sono tutte equivalenti, ma chiaramente un vettore che risulta un versore in una norma in generale non lo sarà rispetto ad un'altra; quindi finché non si fissa una norma parlare di norma unitaria non ha molto senso. Fissata una norma, lo scegliere vettori di norma unitaria mi sembra la scelta più logica..
Sulla costante moltiplicativa ci siamo.
La cosa che più m'interessa è il concetto di fissare la norma e per norma intendo quella euclidea dato che non conosco e non so gestire bene le altre norme possibili (che intuisco ha un'interpretazione molto più generale che la semplice idea che ho io relativa a spazi euclidei come R^3 ).
Se non si fissa una norma al vettore nel nostro caso quali sono le conseguenze?(volevo ecco sapere se esse fossero quelle da me sovracitate).
"Luca.Lussardi":
La definizione di derivata direzionale si può dare anche se la direzione non è unitaria, esattamente allo stesso modo in cui si dà per i versori; poi per omogeneità ci si può sempre ricondurre al caso in cui la direzione sia un versore, ma questo non sta normalmente nella definizione.
Non capisco bene la sua osservazione che intende per direzione unitaria? Se intende il modulo del vettore non debba essere necessariamente unitario cioè che non è vitale ai fini della definizione il discorso credo sia analogo alle osservazioni sovracitate.
"Ariz93":
Sulla costante moltiplicativa ci siamo.
La cosa che più m'interessa è il concetto di fissare la norma e per norma intendo quella euclidea dato che non conosco e non so gestire bene le altre norme possibili (che intuisco ha un'interpretazione molto più generale che la semplice idea che ho io relativa a spazi euclidei come R^3 ).
Se non si fissa una norma al vettore nel nostro caso quali sono le conseguenze?(volevo ecco sapere se esse fossero quelle da me sovracitate).
Il problema è l'ambiguità nella terminologia. Si parla della norma come operatore che associa ad un vettore un numero reale e del numero reale associato al vettore come de "la sua norma". Per non essere ambigui mi riferirò al numero reale associato ad un vettore come alla sua lunghezza, e all'operatore $||\cdot||:RR^n -> RR^+$ come norma (sottolineato).
Uno spazio normato è uno spazio vettoriale su cui è definita una norma, nel momento in cui tu dici "su $RR^n$ con la norma euclidea (...)" hai fissato (=scelto) la norma, cioè quella euclidea. La norma la fissi sullo spazio, non sui vettori, fissata una norma questa associa univocamente ad ogni vettore la sua lunghezza. Fissare una norma significa guardare ad uno spazio vettoriale come dotato della norma scelta, "ignorando le altre". Nel nostro caso finché non fissiamo una norma abbiamo su $RR^n$ una struttura di spazio vettoriale, ma non possiamo associare una lunghezza ai suoi vettori, ed il nostro discorso non ha senso, una volta fissata una norma valgono le considerazioni fatte prima. Spero di essere chiaro, ma se non hai mai lavorato fuori dalla metrica euclidea mi rendo conto che questo discorso ti possa sembrare astratto, in realtà è molto più semplice di quel che sembra, prova a tornarci su quando incontrerai altre norme.
Le considerazioni fatte da te su $RR^n$ con la norma euclidea sono corrette, come ho detto scegliere un $k$ nella definizione di derivata vettoriale è utile per rendere tutto confrontabile/omogeneo, scegliere $k = 1$ è utile perché alleggerisce tutte le scritture. La considerazione sulle altre norme fa capire perché la scelta non sia sostanziale.
Piccola nota, su alcuni testi ho trovato la "derivata vettoriale" o "derivata nella direzione di $v$" definita come quella lungo un versore e "derivata lungo un vettore" o "derivata lungo $v$" quella fatta lungo un vettore qualsiasi.
EDIT: applico la convenzione qui definita per norma e lunghezza anche al mio precedente post, per renderlo più chiaro.
Dalle precedenti osservazioni sembra trasparire il fatto che sia importante definire la derivata direzionale solo lungo versori, in quanto identificativi della direzione, a meno del verso. Questo è effettivamente ciò che si trova sulla maggior parte dei testi universitari di calcolo in più variabili. Io volevo solo invece far notare che la definizione di derivata direzionale si dà per vettori qualunque, non necessariamente di norma unitaria; questo è conveniente quando uno deve fare il calcolo differenziale in dimensione infinita.
"Epimenide93":
come ho detto scegliere un $k$ nella definizione di derivata vettoriale è utile per rendere tutto confrontabile/omogeneo, scegliere $k = 1$ è utile perché alleggerisce tutte le scritture. La considerazione sulle altre norme fa capire perché la scelta non sia sostanziale.
Ecco questo passo mi ero perso penso che la cofrontabilità /omogeneità sia una cosa fondamentale in matematica(credo si possa ricollegare ai principi primi della matematica ma non so bene come collegarla agli assiomi aristotelici) ti ringrazio per il discorso sulle norme anche se leggendo un libro capii che si potevano avere diverse norme basta che rispettassero la definizione di essa. Ora però mi hai incuriosito su quanto può spaziare in astratto la matematica definendo altri tipi di norme. C'è un mondo dietro!
Ok
"Luca.Lussardi":
Dalle precedenti osservazioni sembra trasparire il fatto che sia importante definire la derivata direzionale solo lungo versori, in quanto identificativi della direzione, a meno del verso. Questo è effettivamente ciò che si trova sulla maggior parte dei testi universitari di calcolo in più variabili. Io volevo solo invece far notare che la definizione di derivata direzionale si dà per vettori qualunque, non necessariamente di norma unitaria; questo è conveniente quando uno deve fare il calcolo differenziale in dimensione infinita.
Ti ringrazio per l'osservazione, credo mi tornerà molto utile nel corso di Metodi Matematici per la Fisica 1.
Ancora grazie a entrambi per la pazienza
.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo