Derivata direzionale e integrale triplo

[_Dario_11]

Ciao a tutti, non riesco in alcun modo risolvere questi due esercizi presi da una prova d'esame

1) Data la funzione

$f(x,y,z)=z*\int_{0}^{x-y} e^(t^2) dt$

e il versore $(1/sqrt3,-1/sqrt3,1/sqrt3)$ calcolare la derivata direzione nel punto $D_v f(2,2,1)$

il problema principale ovviamente riguarda l'integrale che non è risolvibile, per cui suppongo che ci sia un trucchetto in grado di aggirare il problema.

2) calcola l'integrale

$\int int int x dxdydz$ su E. Dove E è la regione racchiusa tra la superficie $z=x^2+y^2$ e il piano $4x+z=-3$

qui invece non riesco a capire il grafico, per come la vedo io nemmeno si incontrano, ma probabilmente anche qui mi sfugge qualcosa di clamoroso.
Grazie mille a chi risponderà

[donald_zeka]

Riguardo al primo esercizio: f(x,y,z) così definita mi sembra abbastanza regolare, si verifica facilmente che ha derivate parziali continue, quindi la derivata lungo $vecv$ è data da $(df)/(dvecv)=vecgradf*vecv$

[_Dario_11]

si si hai ragione, conosco quella formula ma onestamente non ho capito in che modo calcolare il gradiente di quella funzione...come mi libero dell'integrale?

[donald_zeka]

Poni $g(x,y)=int_(0)^(x-y)e^(t^2)dt$, questa è una funzione integrale in due variabili, si ha:

$f(x,y,z)=z*g(x,y)$

Pertanto:

$(partialf)/(partialz)=g(x,y)$

$(partialf)/(partialy)=z*(partialg)/(partialy)$

$(partialf)/(partialx)=z*(partialg)/(partialx)$

Dove le derivate parziali di g si calcolano usando semplicemente il teorema fondamentale del calcolo integrale

[_Dario_11]

il tuo ragionamento ci sta ma scusa se insisto, come calcolo ad esempio
$ (partialf)/(partialy)=z*(partialg)/(partialy) $

quanto fa $(partial\int_0^(x-y) e^(t^2)dt)/(partialy)$?

[donald_zeka]

Devi usare il teorema fondamentale del calcolo integrale

Se derivi rispetto a y, allora puoi considerare $x=x_0$ costante e quindi si ha:
$g(y)=int_(0)^(x_0-y)e^(t^2)dt$
Questa è una funzione della sola y di cui dovresti sapere quanto fa la derivata