Derivata direzionale di una funzione differenziabile
Salve, ho utilizzato la funzione "cerca" del forum senza successo,così apro questo post.
Ho un problema a comprendere un passaggio nella dimostrazione del teorema come da titolo,il testo che uso è il Marcellini-Sbordone che cito testualmente:
la derivata direzionale \( \frac{\partial f}{\partial\lambda}\) è per definizione, la derivata rispetto a \(t\), calcolata per \(t=0\), della funzione \(f(x+t\alpha,y+t\beta)\); cioè:
\[ \frac{\partial f}{\partial\lambda}(x,y)=lim_{t \to 0}\frac{f(x+t\alpha,y+t\beta)-f(x,y)}{t} = [\frac{d}{dt}f(x+t\alpha,y+t\beta)]_{t=0}\] .
Poi la dimostrazione continua sfruttando il teorema di derivazione delle funzioni composte ed è comprensibile, ma questo passaggio proprio non lo capisco, qualcuno sarebbe così gentile da chiarirmi le idee?
Grazie.
Ho un problema a comprendere un passaggio nella dimostrazione del teorema come da titolo,il testo che uso è il Marcellini-Sbordone che cito testualmente:
la derivata direzionale \( \frac{\partial f}{\partial\lambda}\) è per definizione, la derivata rispetto a \(t\), calcolata per \(t=0\), della funzione \(f(x+t\alpha,y+t\beta)\); cioè:
\[ \frac{\partial f}{\partial\lambda}(x,y)=lim_{t \to 0}\frac{f(x+t\alpha,y+t\beta)-f(x,y)}{t} = [\frac{d}{dt}f(x+t\alpha,y+t\beta)]_{t=0}\] .
Poi la dimostrazione continua sfruttando il teorema di derivazione delle funzioni composte ed è comprensibile, ma questo passaggio proprio non lo capisco, qualcuno sarebbe così gentile da chiarirmi le idee?
Grazie.
Risposte
Che cosa devi dimostrare, scusa? Nel titolo non si parla di alcun teorema, non si capisce quale sia la domanda.
Il passaggio che citi non fa altro che scrivere la definizione di derivata, solo questo.
Il passaggio che citi non fa altro che scrivere la definizione di derivata, solo questo.
Credo la domanda sia : come si passa dalla definizione di derivata espressa come limite del rapporto incrementale all'espressione che rappresenta la derivata rispetto a $ t $ ( calcolata nel punto $t=0$) di $f(x+t*alpha,y+t *beta) $.
Il limite è indeterminato del tipo 0/0 , applico allora la regola di De l'Hopital etc etc
Il limite è indeterminato del tipo 0/0 , applico allora la regola di De l'Hopital etc etc
Ah, ok, ma allora io eviterei anche il ricorso a De l'Hopital, sai Camillo. Bastano le definizioni:
\[\frac{d}{dt}f(x+t\alpha, y+t\beta)\rvert_{t=0}\]
è uguale, per definizione, al limite del rapporto incrementale, ovvero a
\[\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h\alpha, y+h\beta)-f(x, y)}{h}, \]
e questo è proprio quanto volevamo verificare.
\[\frac{d}{dt}f(x+t\alpha, y+t\beta)\rvert_{t=0}\]
è uguale, per definizione, al limite del rapporto incrementale, ovvero a
\[\lim_{h \to 0} \frac{f(x+h\alpha, y+h\beta)-f(x, y)}{h}, \]
e questo è proprio quanto volevamo verificare.
"Camillo":
Credo la domanda sia : come si passa dalla definizione di derivata espressa come limite del rapporto incrementale all'espressione che rappresenta la derivata rispetto a $ t $ ( calcolata nel punto $t=0$) di $f(x+t*alpha,y+t *beta) $.
Il limite è indeterminato del tipo 0/0 , applico allora la regola di De l'Hopital etc etc
Già, il mio dubbio era proprio questo,innanzitutto grazie ad entrambi.
Alla luce di quanto leggo credo di interpretare male il $d/dt$, non indica la derivata rispetto a $t$ della funzione?e quindi per definizione il limite(se esiste finito) del rapporto incrementale con l'incremento che tende a 0?per quale motivo bisogna specificare $t=0$?
Perchè quando $t=0 $ allora il punto di coordinate $(x+talpha, y+t beta )$ diventa il punto $(x,y ) $ ed è proprio in questo punto che tu vuoi determinare la derivata direzionale.