Derivata direzionale di una funzione differenziabile

[necolass]

buonasera a tutti scusate io avrei un problema con un esercizio

$f(x,y)=sen(xy)/(x^2+y^2)^(1/2)$ se $(x,y)\neq(0,0)$
$f(x,y)=0$ se $(x,y)=(0,0)$

allora devo verificare se è continua e se è differenziabile in $(0,0)$
e devo calcolare la derivata direzionale lungo la direzione $ \lambda=(1/2^(1/2),1/2^(1/2))$ in $(0,0)$

allora il primo punto gia lo fatto e mi trovo che la funzione e continua cio implica anche la differenziabilita

per il secondo punto invece ho calcolato le due derivate parziali $fx,fy$ e ho usato la seguente formula $grad f(x,y)*(\lambda=(1/2^(1/2),1/2^(1/2)))$

e mi trovo come risultato della derivata

$(cos(xy)(2x^2+2y^2-tg(xy)(x+y))/(x^2+y^2)^(1/2))/((x^2+y^2)(2^(1/2)))$

sostituendo il punto (0,0) mi trovo 0/0 mi potete dire dove ho sbagliato?

grazie in anticipo

[Seneca1]

"necolass":allora il primo punto gia lo fatto e mi trovo che la funzione e continua cio implica anche la differenziabilita

Neanche per sogno...

[necolass]

scusa mi fai capire perchè ho sbagliato il primo punto

[poncelet]

Se una funzione è differenziabile in un punto allora è ivi continua, ma non vale il viceversa. Perché valga la tua implicazione $f$ deve essere $C^{1}$ (ovvero se è continua e se esistono e sono continue le derivate parziali) nel punto che ti interessa. In tal caso avresti anche che $f$ è continua.

[necolass]

ho capito senti e quindi per il primo punto se mi calcolo le derivate parziali e vedo se esse sono continue, posso dire che $f$ è differenziabile giusto?
però scusa se ti chiedo un'altra cosa io ho gia fatto le derivate parziali ma se metto il punto $(0,0)$ al posto di $x,y$ mi trovo di nuovo $0/0$ questo che significa che non è continua nel punto?

grazie per il vostro aiuto

[Seneca1]

"necolass":$f(x,y)=sen(xy)/(x^2+y^2)^(1/2)$ se $(x,y)\neq(0,0)$
$f(x,y)=0$ se $(x,y)=(0,0)$

Sia $(h,k) in RR^2$ un versore (una direzione).

$lim_(t -> 0^+) (f(t (h,k)))/t = lim_(t -> 0^+) sin( t^2 * h k)/(t^2 h^2 + t^2 k^2)^(1/2) = lim_(t -> 0^+) t * sin( t^2 * h k)/t^2 * 1/(h^2 + k^2)^(1/2)$

$= 0 * 1 * 1/(h^2 + k^2)^(1/2) = 0$

Quindi un candidato per essere il differenziale $f '(0,0) [v]$ è l'applicazione lineare nulla.

Verifica che vale la formula di approssimazione lineare:

$f(v) = f(0,0) + f '(0,0) [v] + o( ||v||)$

$f(v) = 0 + 0 + o( ||v||)$

ove $v = (x,y)$.

Quindi, per dimostrare che $f$ è differenziabile, devi provare che $lim_((x,y)->(0,0))sin(xy)/(x^2+y^2)^(1/2) * 1/(x^2 + y^2)^(1/2) = 0$

Ma questo, da quel che vedo, mi sembra non succeda.

[Seneca1]

"necolass":ho capito senti e quindi per il primo punto se mi calcolo le derivate parziali e vedo se esse sono continue, posso dire che $f$ è differenziabile giusto?

Questo sarebbe il teorema del differenziale totale (che però, ricorda, non ti fornisce una condizione necessaria e sufficiente).

però scusa se ti chiedo un'altra cosa io ho gia fatto le derivate parziali ma se metto il punto $(0,0)$ al posto di $x,y$ mi trovo di nuovo $0/0$ questo che significa che non è continua nel punto?

Hai una definizione della $f$ fatta "a tratti"... $f(0,0) = 0$.

[necolass]

mi sembra di aver capito quindi in parole povere la mia funzione è continua perchè prolungata per continuità giusto?
poi mi devo calcolare la differenziabilità calcolandomi il limite e questo deve essere 0 giusto?

poi per il secondo punto se la funzione non è differenziabile devo usare la definizione di limite per calcolare la derivata direzionale giusto?

[Seneca1]

"necolass":poi mi devo calcolare la differenziabilità calcolandomi il limite e questo deve essere 0 giusto?

Quale limite?

[necolass]

quel limite che mi hai scritto tu un paio di messaggi prima

[Seneca1]

"Seneca":
$lim_(t -> 0^+) (f(t (h,k)))/t = lim_(t -> 0^+) sin( t^2 * h k)/(t^2 h^2 + t^2 k^2)^(1/2) = lim_(t -> 0^+) t * sin( t^2 * h k)/t^2 * 1/(h^2 + k^2)^(1/2)$

Questo limite è la derivata direzionale di $f$ nella direzione $(h,k)$. Questo può anche non essere $0$, l'importante è che sia una funzione lineare della direzione $(h,k)$. Tuttavia l'esistenza delle derivate direzionali in tutte le direzioni nel punto $P$ non sono sufficienti a garantire la differenziabilità (e quindi anche la continuità) di $f$ nel punto $P$.

Per provare la differenziabilità devi dimostrare che sussiste la formula di approssimazione lineare che ti ho scritto in uno dei post precedenti.

[necolass]

ah ok ho capito grazie di tutto mi servito molto il tuo aiuto adesso provo a rifare questo esercizio con tutte queste cose che mi hai detto

ancora grazie

[Seneca1]

Figurati.