Derivata direzionale

[enzo_87]

ciao a tutti, vi posto il tema dell'esercizio e il risultato, è quasi svolto ma non mi torna una cosa, e vorrei chiedervi come sia possibile una cosa:
dati $ f(x,y) = sin 2y + exp (arctan(x^2 +y ) ) $ e $ v=| ( -2pi ),( pi ) | $ .
sia $ u=(1/|| ( v ) ||)v $ .
allora la derivata direzionale lungo u in $ (o,pi/4) $ ??

ho calcolato prima il gradiente, poi l'ho calcolato nel punto dato.
ho calcolato la norma di v e trovato poi u. ho applicato la formula gradiente per u ottenendo:
$ exp (arctan(pi/4 ) ) 16/((16+pi)root (2)(5) ) $

il risultato però è: $ (16e)/((16+pi)root (2)(5) ) $ .
è possibile che $ arctan(pi/4 ) =1 $ ????

[Seneca1]

"enzo_87":ciao a tutti, vi posto il tema dell'esercizio e il risultato, è quasi svolto ma non mi torna una cosa, e vorrei chiedervi come sia possibile una cosa:
dati $ f(x,y) = sin 2y + exp (arctan(x^2 +y ) ) $ e $ v=| ( -2pi ),( pi ) | $ .
sia $ u=(1/|| ( v ) ||)v $ .
allora la derivata direzionale lungo u in $ (o,pi/4) $ ??

ho calcolato prima il gradiente, poi l'ho calcolato nel punto dato.
ho calcolato la norma di v e trovato poi u. ho applicato la formula gradiente per u ottenendo:
$ exp (arctan(pi/4 ) ) 16/((16+pi)root (2)(5) ) $

il risultato però è: $ (16e)/((16+pi)root (2)(5) ) $ .

Intanto $ u = (- 2 pi , pi) * 1/sqrt( 4 pi^2 + pi^2 ) = | ( -2) ,( 1 ) |/sqrt(5)$

$lim_(t -> 0^+) (f((0 + t h , pi/4 + t k )) - arctan( pi/4 ) - e)/t =$

$lim_(t -> 0^+) (sin( pi/2 + 2 t h ) + exp ( arctan( t^2 h^2 + pi/4 + t k ) )- arctan( pi/4 ) - e)/t =$

Applicando la regola di De L'Hospital:

$lim_(t -> 0^+) cos( pi/2 + 2 th ) * 2h + exp ( arctan( t^2 h^2 + pi/4 + t k ) ) * (2t h^2 + k )/(1 + (t^2 h^2 + pi/4 + t k )^2 ) =$

$= e^(arctan( pi/4 )) * ( k )/(1 + pi^2/16)$

Che dovrebbe essere, se non ho sbagliato i calcoli (cosa abbastanza plausibile!), la derivata direzionale lungo una generica direzione $w = ( h , k)$.

EDIT: Spero di aver corretto tutti gli orrori trigonometrici.

[enzo_87]

no, scusa l'insistenza ma...io so che $ tan pi/4 = 1 $ , e comunque so che la tangente è definita su un dominio di ( $ (-pi/2,pi/2) $ , o meglio, $ RR \ pi/2 + kpi $ , e l'arctg ha dominio definito in $ RR $ ed è limimtata a $ (-pi/2,pi/2) $.

come è possibile che riesca a svolgere $ arctan(pi/4 ) $ e che risulti 1?
chiedo scusa se sto dicendo cavolate

[dissonance]

Ti confondi: è \(\arctan(1)=\pi/4\).

[Seneca1]

dissonance.

[enzo_87]

quindi, $ arctan(1 ) = pi/4 $ e fin qui siamo tutti d'accordo.
ma $ arctan(pi/4 ) = ??? $
se 1, perché???

[Seneca1]

Mi sa che la devi lasciare indicata così $arctan(pi/4)$.

[enzo_87]

mi sa che allora avrà sbagliato il cervellone del profe, visto che nel risultato non compare...magari avrà voluto mettere tan anziché arctan.
va beh, mi rassegno..grazie a tutti