Derivata direzionale
Salve a tutti, spero possiate aiutarmi con questo esercizio che non riesco a risolvere, o meglio... è già risolto sul libro ma non riesco a capire un passaggio
Una escursionista si trova vicino a un ruscello su un lato di una collina,
mentre sta esaminando la carta della zona. La quota del terreno (in km) in ogni punto
(x, y) è data da
h(x, y) = $ 20/(3 + x^2 + 2y^2) $
L’escursionista si trova nel punto (3, 2).
Con quale angolo rispetto alla direzione del ruscello (sulla carta) dovrebbe dirigersi
l’escursionista se desidera salire la collina in modo che all’inizio il suo percorso
sia inclinato di 15° rispetto all’orizzontale?
Supponiamo che l’escursionista si allontani da (3, 2) nella direzione del vettore
unitario u. Lei salirà con una inclinazione di 15° se la derivata direzionale di h
nella direzione di u è tg15° ≈ 0,268.
La risoluzione prosegue ma... Perché la derivata direzionale di h è tangente di 15? Non riesco proprio a capirlo...
Grazie
Una escursionista si trova vicino a un ruscello su un lato di una collina,
mentre sta esaminando la carta della zona. La quota del terreno (in km) in ogni punto
(x, y) è data da
h(x, y) = $ 20/(3 + x^2 + 2y^2) $
L’escursionista si trova nel punto (3, 2).
Con quale angolo rispetto alla direzione del ruscello (sulla carta) dovrebbe dirigersi
l’escursionista se desidera salire la collina in modo che all’inizio il suo percorso
sia inclinato di 15° rispetto all’orizzontale?
Supponiamo che l’escursionista si allontani da (3, 2) nella direzione del vettore
unitario u. Lei salirà con una inclinazione di 15° se la derivata direzionale di h
nella direzione di u è tg15° ≈ 0,268.
La risoluzione prosegue ma... Perché la derivata direzionale di h è tangente di 15? Non riesco proprio a capirlo...
Grazie
Risposte
Ok, ma esattamente cosa c'è che non capisci ?
La derivata su una superficie, come si calcola, perché tan15° ?
Domanda: ti sei mai chiesto perché quando una strada di montagna diventa molto ripida la fanno coi tornanti ?
La derivata su una superficie, come si calcola, perché tan15° ?
Domanda: ti sei mai chiesto perché quando una strada di montagna diventa molto ripida la fanno coi tornanti ?
Ciao, ti ringrazio per aver risposto.
Mi appresto adesso allo studio delle derivate direzionali per cui non ho ancora ben chiaro il "panorama".
Non capisco come si giunga a tg15°. Per calcolare la derivata direzionale applico il teorema che mi consente di trovarla mediante il prodotto di vettore unitario del piano xy indicante la direzione di percorrenza e il vettore gradiente della funzione calcolato nel punto. In questo caso però il vettore unitario non giace sul piano xy ma è inclinato di 15° rispetto al piano stesso. Da qui non so come procedere, non so forse è un errore mio di intepretazione...
Mi appresto adesso allo studio delle derivate direzionali per cui non ho ancora ben chiaro il "panorama".
Non capisco come si giunga a tg15°. Per calcolare la derivata direzionale applico il teorema che mi consente di trovarla mediante il prodotto di vettore unitario del piano xy indicante la direzione di percorrenza e il vettore gradiente della funzione calcolato nel punto. In questo caso però il vettore unitario non giace sul piano xy ma è inclinato di 15° rispetto al piano stesso. Da qui non so come procedere, non so forse è un errore mio di intepretazione...
"20021991":
Ciao, ti ringrazio per aver risposto.
Mi appresto adesso allo studio delle derivate direzionali per cui non ho ancora ben chiaro il "panorama".
Non capisco come si giunga a tg15°. Per calcolare la derivata direzionale applico il teorema che mi consente di trovarla mediante il prodotto di vettore unitario del piano xy indicante la direzione di percorrenza e il vettore gradiente della funzione calcolato nel punto. In questo caso però il vettore unitario non giace sul piano xy ma è inclinato di 15° rispetto al piano stesso. Da qui non so come procedere, non so forse è un errore mio di intepretazione...
E chi ha detto che il vettore unitario non sta sul piano xy ?
Certo, lo puoi immaginare tangente alla superficie, ma, perchè no, anche verticale, ma non ha senso.
L'unico posto dove quel vettore ha senso è sul piano xy.
PS. Ti capisco sai, perchè è un errore comprensibile quello di immaginare la derivata direzionale come un vettore inclinato "che punta per aria", ma non è così e purtroppo i libri di testo (a cui darei fuoco) queste cose non le spiegano.
La definizione che da il mio libro di derivata direzionale dice che il vettore unitario sta sul piano xy. Quindi non è obbligatoriamente così? Può anche avere la componente z in R^3? Ma com'è possibile? E' questo che non capisco di questo problema: da dove salti fuori tg15°se il vettore u non giace su xy
Io ho detto la stessa cosa: che la derivata direzione sta su xy.
tg15° è un numero. Dimenticalo per un momento. E' come dire 1, 2, 1/10, rad(2) Non importa nulla che sia la tangente di qualcosa.
tg15° è un numero. Dimenticalo per un momento. E' come dire 1, 2, 1/10, rad(2) Non importa nulla che sia la tangente di qualcosa.
Scusami ma probabilmente hai frainteso. So bene che la derivata direzionale è un numero e che il vettore unitario sta su xy, quello che non ho capito è come l'autore nello svolgere l'esercizio è arrivato a tg15°,come l'ha calcolato.
Leggi qua: post549593.html?hilit=direzionale#p549593
Dopo aver letto: la pendenza del vettore tangente alla sezione del grafico è quel valore reale di cui parli cioè $lim_(t->0) (f(ul(a)+tul(v))-f(a))/t$, dove $ul(v)=(a,b)$ è un generico versore ($sqrt(a^2+b^2)=1$). Se metti $ul(a)=(3,2)$ hai due condizioni e dovresti trovare le coordinate del versore, in modo da sapere da che parte deve andare.
Però mi sa che è più semplice valutare la funzione $f(x,mx)$, derivarla e imporre la condizione sull'inclinazione. Se hai capito il concetto grafico ti dovrebbe essere chiaro, leggi bene l'altra discussione.
Dopo aver letto: la pendenza del vettore tangente alla sezione del grafico è quel valore reale di cui parli cioè $lim_(t->0) (f(ul(a)+tul(v))-f(a))/t$, dove $ul(v)=(a,b)$ è un generico versore ($sqrt(a^2+b^2)=1$). Se metti $ul(a)=(3,2)$ hai due condizioni e dovresti trovare le coordinate del versore, in modo da sapere da che parte deve andare.
Però mi sa che è più semplice valutare la funzione $f(x,mx)$, derivarla e imporre la condizione sull'inclinazione. Se hai capito il concetto grafico ti dovrebbe essere chiaro, leggi bene l'altra discussione.
Ciao Giuly19 grazie per aver risposto. Io non ho capito qual è il calcolo da fare per dire che la derivata direzionale della drezione del vettore inclinato di 15° sia tg15°. Operativamente com'è stato calcolato? Quali sono i passaggi?
Se applico il teorema (vettore unitario per - prodotto scalare - gradiente nel punto) non mi viene fuori tg15° quindi vorrei capire come si fa.
Probabilmente il mio errore c'entra col fatto che tale teorema si applica quando il vettore unitario giace su xy mentre nel caso specifico non è così. Poiché in questo caso il vettore non giace su xy ma è inclinato di 15° rispetto al piano, come si calcola la derivata direzionale?
Sul libro c'è scritto:
Ma perché? Come calcola tg15°? Io non riesco a trovarlo...vorrei capire come si fa
Se applico il teorema (vettore unitario per - prodotto scalare - gradiente nel punto) non mi viene fuori tg15° quindi vorrei capire come si fa.
Probabilmente il mio errore c'entra col fatto che tale teorema si applica quando il vettore unitario giace su xy mentre nel caso specifico non è così. Poiché in questo caso il vettore non giace su xy ma è inclinato di 15° rispetto al piano, come si calcola la derivata direzionale?
Sul libro c'è scritto:
Lei salirà con una inclinazione di 15° se la derivata direzionale di h
nella direzione di u è tg15° ≈ 0,268.
Ma perché? Come calcola tg15°? Io non riesco a trovarlo...vorrei capire come si fa
Ma quel valore non è affatto da calcolare..
Però sembra che tu non abbia chiaro cosa sia una derivata per una funzione di una sola variabile se dici così..
Però sembra che tu non abbia chiaro cosa sia una derivata per una funzione di una sola variabile se dici così..
Se non va calcolato potresti dirmi perché la derivata direzionale di quella funzione h in direzione inclinata di 15° è tg15°? Ci sarà n motivo... io non lo capisco. Come si giunge a questa conclusione? Avendo iniziato ieri lo studio delle direzionali probabilmente c'è ancora qualcosa che non mi chiaro. Per cui vi chiedo scusa se la domanda può sembrare banale.
Ripeto, per calcolare le derivate direzionali applico il teorema di cui ho già parlato ma in questo caso mi sembra di capire - da quanto dici - che non va applicato. Perché? Come si giunge alla conclusione che quella derivata parziale vale tg15°?
Ripeto, per calcolare le derivate direzionali applico il teorema di cui ho già parlato ma in questo caso mi sembra di capire - da quanto dici - che non va applicato. Perché? Come si giunge alla conclusione che quella derivata parziale vale tg15°?
"20021991":
Probabilmente il mio errore c'entra col fatto che tale teorema si applica quando il vettore unitario giace su xy mentre nel caso specifico non è così. Poiché in questo caso il vettore non giace su xy ma è inclinato di 15° rispetto al piano, come si calcola la derivata direzionale?
Questo mi fa pensare che tu abbia non poca confusione in testa..
In ogni caso questi 15° sono l'inclinazione che deve aver il pendio, e basta. La direzione è quella che devi trovare, e non 15°!
Infatti imposti la derivata direzionale a partire da un versore generico..
Prova un po' a farmi vedere i conti che fai, ma prima per favore, rileggi bene la discussione che ti ho linkato. Sembra quasi tu non l'abbia nemmeno aperta..
"Giuly19":
Questo mi fa pensare che tu abbia non poca confusione in testa..
Be' se non ne avessi avuta avremmo esarito questa discussione in pochi post o probabilmente non avrei chiesto il vostro aiuto perché sarei stato in grado di risolvere da solo
"Giuly19":
In ogni caso questi 15° sono l'inclinazione che deve aver il pendio, e basta. La direzione è quella che devi trovare, e non 15°!
Infatti imposti la derivata direzionale a partire da un versore generico..
Prova un po' a farmi vedere i conti che fai, ma prima per favore, rileggi bene la discussione che ti ho linkato. Sembra quasi tu non l'abbia nemmeno aperta..
Ho riletto più volte il topic che mi hai linkato. Ho capito qual è il significato geometrico della derivata direzionale... ma non riesco lo stesso a dare una risposta al mio quesito: perché la derivata direzionale di h è tg15°.
Ad ogni modo, ho risolto il limite che mi hai consigliato di calcolare e chiaramente trovo un'espressione con a e b:
$ (-3/10)a - (4/10)b $
E ovviamente è lo stesso risultato che ottengo applicando il teorema del gradiente. Ma qui mi blocco.
Non capisco come trattare i 15 gradi di inclinazione. Credevo fosse chiaro già dal primo post
Il valore di quella derivata direzionale che hai calcolato al variare del vettore $(a,b)$ ( per ora non hai ancora detto che sia un versore, lo devi imporre scrivendo $a^2+b^2=1$) deve essere proprio $tg15°$, perchè
Qual'è il significato geometrico della derivata per funzioni di una sola variabile?
La derivata direzionale ha il significato geometrico della normale derivata per funzioni in una variabile sul grafico che ho appena detto.(citato dalla discussione che ti ho linkato).
Qual'è il significato geometrico della derivata per funzioni di una sola variabile?
Ok adesso ho capito. Il mio errore consisteva nel considerare il vettore unitario inclinato di 15°. Da qui la confusione, perché tale vettore deve stare sul piano xy.
In realtà, ho capito che bisognava considerare un generico vettore unitario e che ad essere inclinata di 15° rispetto all'orizzontale era la retta tangente al grafico della funzione nel punto considerato cioè in (3,2).
La sezione che si ottiene intersecando il grafico con il piano contenente il versore generico e parallelo all'asse z, è pensabile come grafico di una funzione da $ R -> R $ cioè di una sola variabile, che ha retta tangente nel punto (3,2). La derivata di tale funzione f(x) nel piano ha lo stesso significato della derivata direzionale di h(x,y) calcolata per lo stesso punto nello spazio tridimensionale
Poiché nel piano la derivata di una funzione calcolata nel punto $ (a,b) $ ha il significato geometrico di coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione passante per $ (a,b) $ ne segue che la derivata parziale della funzione in $ (3,2) $ coincide con il coefficiente angolare della retta tangente passante per quel punto.
Sappiamo che la retta è inclinata di 15° per cui il suo coeff. angolare vale tg15°. Ne deriva che la derivata direzionale di h(x,y) in (3,2) vale tg15°.
Mi ostinavo a cercare i calcoli che portassero a tale risultato mentre, invece, era necessario fare queste considerazioni, no?
In realtà, ho capito che bisognava considerare un generico vettore unitario e che ad essere inclinata di 15° rispetto all'orizzontale era la retta tangente al grafico della funzione nel punto considerato cioè in (3,2).
La sezione che si ottiene intersecando il grafico con il piano contenente il versore generico e parallelo all'asse z, è pensabile come grafico di una funzione da $ R -> R $ cioè di una sola variabile, che ha retta tangente nel punto (3,2). La derivata di tale funzione f(x) nel piano ha lo stesso significato della derivata direzionale di h(x,y) calcolata per lo stesso punto nello spazio tridimensionale
Poiché nel piano la derivata di una funzione calcolata nel punto $ (a,b) $ ha il significato geometrico di coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione passante per $ (a,b) $ ne segue che la derivata parziale della funzione in $ (3,2) $ coincide con il coefficiente angolare della retta tangente passante per quel punto.
Sappiamo che la retta è inclinata di 15° per cui il suo coeff. angolare vale tg15°. Ne deriva che la derivata direzionale di h(x,y) in (3,2) vale tg15°.
Mi ostinavo a cercare i calcoli che portassero a tale risultato mentre, invece, era necessario fare queste considerazioni, no?
Ma quale derivata parziale?
A te serve trovare la direzione in cui la retta tangente al grafico della funzione assume la pendenza di 15° (e quindi per cui la derivata direzionale vale $tg15°$), detto così è giusto.
Per il resto il concetto grafico mi sembra tu l'abbia capito, mi preoccupa un po' il fatto che hai usato $(a,b)$ per indicare le coordinate di un punto, quando io le usavo per il versore, spero tu abbia chiaro anche questo. Perchè non provi a fare i conti? Hai la soluzione dell'esercizio?
A te serve trovare la direzione in cui la retta tangente al grafico della funzione assume la pendenza di 15° (e quindi per cui la derivata direzionale vale $tg15°$), detto così è giusto.
Per il resto il concetto grafico mi sembra tu l'abbia capito, mi preoccupa un po' il fatto che hai usato $(a,b)$ per indicare le coordinate di un punto, quando io le usavo per il versore, spero tu abbia chiaro anche questo. Perchè non provi a fare i conti? Hai la soluzione dell'esercizio?
Ma quale derivata parziale?
Tranquilla, è stato un errore di battitura e ho corretto subito. Ho erroneamente scritto "parziale" al posto di "direzionale".
Ho risolto l'esercizio e l'angolo finale con cui l'escursionista deve spostarsi rispetto al ruscello è 58°.
Ad ogni modo nell'ultimo post ho indicato con $ (a,b) $ le coordinate di un generico punto come spesso si fa in matematica.
La a e la b con cui nei post precedenti abbiamo indicato le componenti del versore non c'entravano più niente...
Perfetto, allora è tutto chiaro!
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