Derivata direzionale
Ho questa funzione:
$ f(x,y)=|(x-1)(y-1)| $
e devo calcolare la derivata direzionale nel punto (1,3) lungo la retta di equazione y-x-2=0 orientata nel verso delle x crescenti.
Potete spiegarmi i passaggi che devo fare?
$ f(x,y)=|(x-1)(y-1)| $
e devo calcolare la derivata direzionale nel punto (1,3) lungo la retta di equazione y-x-2=0 orientata nel verso delle x crescenti.
Potete spiegarmi i passaggi che devo fare?
Risposte
mi aiutate per favore?
Prova a scrivere la definizione di derivata direzionale o qualche formula per il suo calcolo, poi si vede insieme cosa ti manca e devi trovare.
sinceramente in pratica non sò da dove cominciare...so che per trovare la derivata direzionale in un punto P(x,y) lungo un vettore v(u,v) bisogna fare
$ lim_(t -> 0) [f(x+tu,y+tv)-f(x,y)]/t $ e questo limite deve esistere finito.ma avendo l equazione della retta,come trovo il vettore?
$ lim_(t -> 0) [f(x+tu,y+tv)-f(x,y)]/t $ e questo limite deve esistere finito.ma avendo l equazione della retta,come trovo il vettore?
Immaginavo fosse questo il tuo problema... 
Bene, allora: tieni presente che oltre alla rappresentazione cartesiana $y=x+2$ di questa retta, ne esiste anche un'altra, detta forma parametrica:
${(x=t),(y=2+t):}$ che si può scrivere equivalentemente come $((x),(y))=((0),(2))+t((1),(1)),\quad t \in \mathbb{R}$.
Allora leggendo questa espressione, si vede che il generico punto $((x),(y))$ della retta in questione è quello che si ottiene
partendo da $((0),(2))$ per $t=0$ e avanzando di $t((1),(1))$. Quindi è evidente che $u=((1),(1))$ è un vettore che dirige la retta.
Per la derivata direzionale, però, ci occorre il suo versore. Dovrai quindi dividere $u$ per la sua norma e ottenere così il versore $v$ che compare nella definizione di derivata direzionale.
Bene, allora: tieni presente che oltre alla rappresentazione cartesiana $y=x+2$ di questa retta, ne esiste anche un'altra, detta forma parametrica:
${(x=t),(y=2+t):}$ che si può scrivere equivalentemente come $((x),(y))=((0),(2))+t((1),(1)),\quad t \in \mathbb{R}$.
Allora leggendo questa espressione, si vede che il generico punto $((x),(y))$ della retta in questione è quello che si ottiene
partendo da $((0),(2))$ per $t=0$ e avanzando di $t((1),(1))$. Quindi è evidente che $u=((1),(1))$ è un vettore che dirige la retta.
Per la derivata direzionale, però, ci occorre il suo versore. Dovrai quindi dividere $u$ per la sua norma e ottenere così il versore $v$ che compare nella definizione di derivata direzionale.
Quindi è $ u(1/sqrt2,1/sqrt2) $
mentre il limite che devo calcolare è
$ lim_(t -> 0) [|tsqrt2+1/2t^2|]/t $ per il quale devo prima sciogliere il modulo giusto?
grazie mille!!
mentre il limite che devo calcolare è
$ lim_(t -> 0) [|tsqrt2+1/2t^2|]/t $ per il quale devo prima sciogliere il modulo giusto?
grazie mille!!
Sì, fai i due limiti $t \to 0^-$ e $t \to 0^+$.
...
Mi pare sia corretto il limite scritto da ralphi.
Sì, scusa, hai ragione.
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