Derivata direzionale
salve a tutti , volevo dei chiarimenti, se magari ho sbagliato qualcosa o ho fatto tutti i calcoli correttamente, sul procedimento che ho usato nell' esercizio seguente :
detrrminare la derivata della seguente funzione lungo la direzione e nel punto assegnato . $f(x,y)= sqrt(|x^2-xy|)$ in $ P (0,0)$ nella direzione del vettore $ U(1,1)$
per definizione la derivata direzionale di f(x,y) lungo la direzione u è il limite finito :
$\lim_{t \to \0}(f(x_p+tu_1,y_p+tu_2)-f(x_p,y_p))/t$
quindi:
$\lim_{t \to \0}(f(0+1t,0+1t)-f(0,0))/t$
$\lim_{t \to \0}(f((0+1t)^2-(0+1t)(0+1t))-0)/t =0$
quindi la derivata direzionale nella direzione del vettore e nel punto assegnato è pari a $0$
detrrminare la derivata della seguente funzione lungo la direzione e nel punto assegnato . $f(x,y)= sqrt(|x^2-xy|)$ in $ P (0,0)$ nella direzione del vettore $ U(1,1)$
per definizione la derivata direzionale di f(x,y) lungo la direzione u è il limite finito :
$\lim_{t \to \0}(f(x_p+tu_1,y_p+tu_2)-f(x_p,y_p))/t$
quindi:
$\lim_{t \to \0}(f(0+1t,0+1t)-f(0,0))/t$
$\lim_{t \to \0}(f((0+1t)^2-(0+1t)(0+1t))-0)/t =0$
quindi la derivata direzionale nella direzione del vettore e nel punto assegnato è pari a $0$
Risposte
È corretto.
L'unica cosa che $U=(1,1)$ non è una direzione, andrebbe normalizzato (una direzione è un vettore di modulo unitario), e nella definizione di derivata direzionale si parla di derivata lungo una direzione.
Qui mi pare che il risulttato non cambi, però eviterei di dire di $(1,1)$ che è una direzione (infatti il testo non dice la direzione $U$, ma la direzione del vettore $U=(1,1)$, cioè $U$ normalizzato.
Qui mi pare che il risulttato non cambi, però eviterei di dire di $(1,1)$ che è una direzione (infatti il testo non dice la direzione $U$, ma la direzione del vettore $U=(1,1)$, cioè $U$ normalizzato.
@gabriella: Uuh, non ci avevo mai fatto caso, quindi sono andato un po' a spulciare tra i libri di analisi che ho ed effettivamente sia Giusti (analisi matematica 2, terza edizione) sia Pagani-Salsa (analisi matematica volume 1, edizione Masson) la definiscono per un versore. Tuttavia, Canuto-Tabacco (analisi matematica II) invece la definiscono per un generico vettore non nullo.
Ma infatti mi era venuto il dubbio, io ricordavo che si definiva con il versore. Non mi vorrei sbagliare, ma a fare i calcoli il risultato cambia se si usa un vettore qualunque o un versore.
Poi alla fine concettualmente è lo stesso.
Però ora faccio anche io un referendum tra i libri di analisi che ho.
Poi alla fine concettualmente è lo stesso.
Però ora faccio anche io un referendum tra i libri di analisi che ho.
Esempio :
$f(x,y)=x+y$,
$v=(v_1, v_2)$ vettore qualsiasi, trovare la derivata direzionale in $(0,0)$.
$ lim_(t -> 0) f(0+tv_1, 0+tv_2)/t = lim_(t -> 0) (tv_1+tv_2)/t= v_1+v_2$ .
Quindi dipende da $v_1$ e $v_2$.
Mi viene l'idea che usando il versore vengano risultati uguali a meno di un fattore di proporzionalità (il modulo), ma non so se è vero in ogni caso.
Se però siamo in presenza di una funzione differenziabile nel punto in cui si vuole la derivata direzionale, per cui si può usare la formula di rappresentazione della derivata direzionale con il prodotto scalare tra il gradiente e il versore, si vede che è vera questa proporzionalità.
Se supero la pigrizia scrivo la formula...
$f(x,y)=x+y$,
$v=(v_1, v_2)$ vettore qualsiasi, trovare la derivata direzionale in $(0,0)$.
$ lim_(t -> 0) f(0+tv_1, 0+tv_2)/t = lim_(t -> 0) (tv_1+tv_2)/t= v_1+v_2$ .
Quindi dipende da $v_1$ e $v_2$.
Mi viene l'idea che usando il versore vengano risultati uguali a meno di un fattore di proporzionalità (il modulo), ma non so se è vero in ogni caso.
Se però siamo in presenza di una funzione differenziabile nel punto in cui si vuole la derivata direzionale, per cui si può usare la formula di rappresentazione della derivata direzionale con il prodotto scalare tra il gradiente e il versore, si vede che è vera questa proporzionalità.
Se supero la pigrizia scrivo la formula...
È vero sempre. Se \( \eta = c\xi \) per \( \xi \) vettore non nullo e \( c \) è uno scalare \( c\neq 0 \), si ha che
Mi viene l'idea che usando il versore vengano risultati uguali a meno di un fattore di proporzionalità (il modulo), ma non so se è vero in ogni caso.
\[
\frac{\partial f}{\partial\eta}(x) = \lim_{t\to 0}\frac{f(x + t\eta) - f(x)}{t} = \lim_{t\to 0}\frac{f(x + tc\xi) - f(x)}{t} = c\lim_{t\to 0}\frac{f(x + tc\xi) - f(x)}{tc} = c\lim_{\tau\to 0}\frac{f(x + \tau\xi) - f(x)}{\tau} = c\frac{\partial f}{\partial \xi}(x)
\] in ogni punto \( x \) dove l'ultimo limite esiste, ponendo \( \tau = ct \).
Qui hai ragione. Per dirlo un po' più semplicemente: se \( f \) è differenziabile in \( x \) e \( \operatorname{D}f \) è il suo differenziale e \( {\operatorname{D}f}(x) \) è il suo differenziale calcolato in \( x \), c'hai che
Se però siamo in presenza di una funzione differenziabile nel punto in cui si vuole la derivata direzionale, per cui si può usare la formula di rappresentazione della derivata direzionale con il prodotto scalare tra il gradiente e il versore, si vede che è vera questa proporzionalità.
\[
\frac{\partial f}{\partial \eta}(x) = {\operatorname{D}f}(x)\circ \eta = {\operatorname{D}f}(x)\circ (c\xi) = x{\operatorname{D}f}(x)\circ \xi
\] dove se \( T \) è una lineare indico con \( T\circ \xi \) il vettore \( T(\xi) \) sennò metto troppe parentesi. Questo lo aggiungo solo perché credo che qui abbiate in mente funzioni a valori reali, per le quali la formula è
\[
\frac{\partial f}{\partial \eta}(x) = \langle\nabla f(x),\eta\rangle
\] ma questa cosa vale benissimo per tutte le funzioni a valori vettoriali.
"marco2132k":
lo aggiungo solo perché credo che qui abbiate in mente funzioni a valori reali, per le quali la formula è
\[ \frac{\partial f}{\partial \eta}(x) = \langle\nabla f(x),\eta\rangle \] ma questa cosa vale benissimo per tutte le funzioni a valori vettoriali.
Grazie Marco. Sì sì, parlavamo di funzioni a valori reali, come dall'esempio di cumi, la formula a cui mi riferivo è quella.
Non avevo poi verificato se valeva in generale la proporzionalità, vedo di sì dalla tua dimostrazione.
Quindi sei d'accordo che, quando viene chiesto di calcolare la derivata in una direzione, e viene dato un vettore qualsiasi e non un versore, va prima normalizzato?
Penso che si definisca la derivata direzionale riferendosi a un versore proprio per dare una definizione univoca di derivata direzionale, altrimenti il valore varia con il vettore scelto. E la scelta più naturale è prendere il versore.
Anche se Mephlip dice che ha un libro in cui è definita per un vettore qualsiasi.
Leggendo in giro, mi sembra di aver capito che sacrificare la normalizzazione considerando vettori $v$ fa sì che la derivata direzionale sia una funzione lineare di $v$; invece, sacrificando la linearità considerando solo versori $\hat{v}$, si ottiene il vantaggio di poter confrontare derivate fatte rispetto direzioni arbitrarie (che poi immagino sia ciò che intende Gabriella nel penultimo paragrafo del messaggio appena sopra).
Sì, intendevo dare un valore numerico univoco.
"gabriella127":Sinceramente non lo so, credo sia sempre meglio accertarsene prima.
Quindi sei d'accordo che, quando viene chiesto di calcolare la derivata in una direzione, e viene dato un vettore qualsiasi e non un versore, va prima normalizzato?
"gabriella127":Sì ma varia bene (nel senso che \( \partial f/\partial({-})(x)\colon \xi\mapsto \partial f/\partial(\xi)(x) \), se \( f \) è differenziabile
Penso che si definisca la derivata direzionale riferendosi a un versore proprio per dare una definizione univoca di derivata direzionale, altrimenti il valore varia con il vettore scelto.
Comunque il Rudin definisce la derivata direzionale solo per i versori, il De Marco no, il Loomis neanche. Io sono d'accordo con questi ultimi in realtà. (Più che altro che senso ha non farlo?)
IMHO
Se ho $f:A -> RR$, con $A \subseteq RR^n$, dato $x_0 \in A$, dato $v \in RR^n$ ($v \ne 0$), se ha senso (punto di accumulazione, dettagli al lettore) $\lim_{t \to \0}(f(x_0+tv)-f(x_0))/t$, direi che qualora questo limite esista (finito, of course) si possa chiamare derivata "lungo il vettore $v$" o "secondo il vettore $v$" o altra terminologia similare (e magari anche migliore).
Il termine "derivata direzionale" lo lascerei al caso in cui $v$ abbia norma $1$ (ovvero, sia un versore), secondo una terminologia nettamente prevalente.
IMHO IMHO A dire il vero, per me "direzione" è un termine che individua una retta (passante per il punto che ci interessa), non ha la freccia. Ergo non mi piace molto, visto che i versori "hanno la freccia". Mi piacerebbe di più "derivata secondo il versore tal dei tali" (o simili, vedi sopra).
END di tutti gli IMHO
Naturalmente, al solito, visto che si sta parlando di definizione di termini, ciò che conta è sempre esclusivamente la pars definiens. In altri termini, al solito, basta mettersi d'accordo sulla definizione ($0 \in NN$?)
NB: dato $\alpha \in RR$ ($\alpha \ne 0$), la derivata lungo $\alpha v$ è sempre uguale ad $\alpha$ volte la derivata lungo $v$, senza alcuna condizione.
Se ho $f:A -> RR$, con $A \subseteq RR^n$, dato $x_0 \in A$, dato $v \in RR^n$ ($v \ne 0$), se ha senso (punto di accumulazione, dettagli al lettore) $\lim_{t \to \0}(f(x_0+tv)-f(x_0))/t$, direi che qualora questo limite esista (finito, of course) si possa chiamare derivata "lungo il vettore $v$" o "secondo il vettore $v$" o altra terminologia similare (e magari anche migliore).
Il termine "derivata direzionale" lo lascerei al caso in cui $v$ abbia norma $1$ (ovvero, sia un versore), secondo una terminologia nettamente prevalente.
IMHO IMHO A dire il vero, per me "direzione" è un termine che individua una retta (passante per il punto che ci interessa), non ha la freccia. Ergo non mi piace molto, visto che i versori "hanno la freccia". Mi piacerebbe di più "derivata secondo il versore tal dei tali" (o simili, vedi sopra).
END di tutti gli IMHO
Naturalmente, al solito, visto che si sta parlando di definizione di termini, ciò che conta è sempre esclusivamente la pars definiens. In altri termini, al solito, basta mettersi d'accordo sulla definizione ($0 \in NN$?)
NB: dato $\alpha \in RR$ ($\alpha \ne 0$), la derivata lungo $\alpha v$ è sempre uguale ad $\alpha$ volte la derivata lungo $v$, senza alcuna condizione.
Paese che vai, usanze che trovi.
Ho fatto una piccola indagine sui libri che ho. Mi ritrovo con quello che dice Fioravante Patrone.
Nei libri di analisi che ho (Giusti, Marcellini Sbordone, Rudin, Apostol, dispense di Analisi 2 del corso che feci alla Sapienza (D'Ancona) ) la derivata direzionale è sempre definita tramite un versore.
Però ho visto che si definisce anche la derivata rispetto a un vettore generico, non unitario, ma non viene chiamata derivata direzionale .
L'ho visto sul libro di analisi di Apostol, nel capitolo Calcolo differenziale per campi scalari e vettoriali.
Ad esempio definisce la derivata di un campo scalare rispetto a un vettore. E questa sì, è una funzione del vettore scelto.
Cioè, la derivata direzionale in un punto è un numero, la derivata rispetto a un vettore è una funzione di questo vettore.
Scopiazzo da Apostol:
DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UN CAMPO SCALARE RISPETTO A UN VETTORE.
dato un campo scalare $f: Srightarrow mathbb(R)$, dove $S\subset mathbb(R^n)$, siano $a$ un punto interno a $S$ e $y$ un arbitrario punto di $mathbb(R^n)$ . La derivata di $f$ in $a$ rispetto a $y$ si indica $f'(a;y)$
ed è definita da
$f'(a;y)= lim_(h -> 0) (f(a+fy)-f(a))/h$
purché esista il limite al secondo membro.
Questa derivata rispetto a un vettore $y$ è una funzione di $y$.
Ad esempio, calcola la derivata $f'(a;y)$ se $f(x)=||x||^2$ per ogni $x in mathbb(R^n)$, e viene
$f'(a;y)= 2a*y$
Poi Apostol dà la definizione di derivata direzionale prendendo un versore.
Invece ho trovato la definizione di derivata direzionale per un vettore generico non nullo in un libro di geometria differenziale, sempre in un capitolo sui campi vettoriali.
Quindi sospetto che in analisi sia diffusa di più quella con il versore, mentre quella con un vettore generico sia usata in geometria differenziale e campi vettoriali.
Dal punto di vista pratico, poiché stiamo rispondendo al post iniziale di cumi, dipende dalla definizione data dal professore. Però, in genere, nel dubbio se normalizzare o no in un esercizio o a un esame che chiede di calcolare la derivata direzionale, io normalizzerei, tanto così nessuno può dirti nulla, visto che quella con il versore è la definizione dominante in analisi.
Ho fatto una piccola indagine sui libri che ho. Mi ritrovo con quello che dice Fioravante Patrone.
Nei libri di analisi che ho (Giusti, Marcellini Sbordone, Rudin, Apostol, dispense di Analisi 2 del corso che feci alla Sapienza (D'Ancona) ) la derivata direzionale è sempre definita tramite un versore.
Però ho visto che si definisce anche la derivata rispetto a un vettore generico, non unitario, ma non viene chiamata derivata direzionale .
L'ho visto sul libro di analisi di Apostol, nel capitolo Calcolo differenziale per campi scalari e vettoriali.
Ad esempio definisce la derivata di un campo scalare rispetto a un vettore. E questa sì, è una funzione del vettore scelto.
Cioè, la derivata direzionale in un punto è un numero, la derivata rispetto a un vettore è una funzione di questo vettore.
Scopiazzo da Apostol:
DEFINIZIONE DI DERIVATA DI UN CAMPO SCALARE RISPETTO A UN VETTORE.
dato un campo scalare $f: Srightarrow mathbb(R)$, dove $S\subset mathbb(R^n)$, siano $a$ un punto interno a $S$ e $y$ un arbitrario punto di $mathbb(R^n)$ . La derivata di $f$ in $a$ rispetto a $y$ si indica $f'(a;y)$
ed è definita da
$f'(a;y)= lim_(h -> 0) (f(a+fy)-f(a))/h$
purché esista il limite al secondo membro.
Questa derivata rispetto a un vettore $y$ è una funzione di $y$.
Ad esempio, calcola la derivata $f'(a;y)$ se $f(x)=||x||^2$ per ogni $x in mathbb(R^n)$, e viene
$f'(a;y)= 2a*y$
Poi Apostol dà la definizione di derivata direzionale prendendo un versore.
Invece ho trovato la definizione di derivata direzionale per un vettore generico non nullo in un libro di geometria differenziale, sempre in un capitolo sui campi vettoriali.
Quindi sospetto che in analisi sia diffusa di più quella con il versore, mentre quella con un vettore generico sia usata in geometria differenziale e campi vettoriali.
Dal punto di vista pratico, poiché stiamo rispondendo al post iniziale di cumi, dipende dalla definizione data dal professore. Però, in genere, nel dubbio se normalizzare o no in un esercizio o a un esame che chiede di calcolare la derivata direzionale, io normalizzerei, tanto così nessuno può dirti nulla, visto che quella con il versore è la definizione dominante in analisi.
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