Derivata direzionale

[harperf]

Buonasera,

mi paicerebbe capire con il vostro aiuto se fosse possibile definire la derivata direzionale in un modo simile a quanto si fa per una variabile:

$lim_(x->x_0) (f(x)-f(x_0))/(x-x_0)$ (1)

infatti la derivata lungo un qualsiasi versore mi è stata definita come:

$lim_(t->0) (f(x_0+tv_1,y+tv_2)-f(x_0,y_0))/t$

simile alla definizione che sfrutta l'incremento h:

$lim_(h->0) (f(x_0+h)-f(x_0))/h$

Il problema è che cercando di scriverla in un modo simile a (1) ci si ritroverebbe un limite più complesso e non più nella sola variabile t (sbaglio?), ma esiste qualcosa delgenere?

[dissonance]

Con più di una variabile, non si può fare e spiego perché.

Se hai solo una variabile, il passaggio da una formulazione all'altra è il cambiamento di variabile \(x=x_0+h\), in modo che
\[
\lim_{x\to x_0}\frac{f(x)-f(x_0)}{x-x_0}\]
sia equivalente a
\[
\lim_{h\to 0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}.\]
(Questo significa che uno dei due limiti esiste se e solo se esiste l'altro, e in tal caso sono uguali).

Se hai più di una variabile, diciamo due variabili \((x, y)\), il cambio di variabile da fare sarebbe
\[
(x, y)=(x_0, y_0)+ t(v_1, v_2).\]
PROBLEMA: Come fai a esprimere \(t\) in funzione di \((x, y)\)? Dovresti dividere per \((v_1, v_2)\), ma non si può, è un vettore.

[harperf]

Grazie!