Derivata direzionale
Salve ragazzi!
Affrontando qualche esercizio sulle derivate direzionali mi sono imbattuto nel quesito che sotto vi riporto:
"Si indichi il dominio della funzione $ f(x,y)=sqrt(4-x^(2)-y^(2)) $ e si determinino i punti sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante in cui la derivata direzionale della funzione, nella direzione data $ lambda =(1/sqrt(2);1/sqrt(2)) $ valga $ (partial f)/(partiallambda ) =1 $"
Anzitutto, come richiesto dall'esercizio, ho determinato il dominio della funzione che risulta: $ Dom F={(x,y)in R^2: x^2+y^2<= 4} $ ovvero tutti i punti all'interno della circonferenza ( $ partialD $ compresa ) con centro in $ O(0,0) $ e $ r=4 $.
Dopo tale conclusione, prendo in esame i punti della bisettrice del primo e del terzo quadrante con equazione cartesiana: $ y=x $ quindi analizzare il valore assunto rispettivamente nei punti $ (x,x) $ o $ (y,y) $.
Ora, quale strada posso tentare per determinarmi questi punti? Premetto che ho provato ad utilizzare la formula della derivata direzionale, ovvero $ lim_(t -> 0) (f(x+alpha t,y+beta t)-f(x,y))/t $ applicando le varie sostituzioni, tentando prima nel punto $ (0,0) $poi nel punto $ (1,1) $ ma senza avere risultati.
Please, help me!
Affrontando qualche esercizio sulle derivate direzionali mi sono imbattuto nel quesito che sotto vi riporto:
"Si indichi il dominio della funzione $ f(x,y)=sqrt(4-x^(2)-y^(2)) $ e si determinino i punti sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante in cui la derivata direzionale della funzione, nella direzione data $ lambda =(1/sqrt(2);1/sqrt(2)) $ valga $ (partial f)/(partiallambda ) =1 $"
Anzitutto, come richiesto dall'esercizio, ho determinato il dominio della funzione che risulta: $ Dom F={(x,y)in R^2: x^2+y^2<= 4} $ ovvero tutti i punti all'interno della circonferenza ( $ partialD $ compresa ) con centro in $ O(0,0) $ e $ r=4 $.
Dopo tale conclusione, prendo in esame i punti della bisettrice del primo e del terzo quadrante con equazione cartesiana: $ y=x $ quindi analizzare il valore assunto rispettivamente nei punti $ (x,x) $ o $ (y,y) $.
Ora, quale strada posso tentare per determinarmi questi punti? Premetto che ho provato ad utilizzare la formula della derivata direzionale, ovvero $ lim_(t -> 0) (f(x+alpha t,y+beta t)-f(x,y))/t $ applicando le varie sostituzioni, tentando prima nel punto $ (0,0) $poi nel punto $ (1,1) $ ma senza avere risultati.
Please, help me!
Risposte
beh,dovuque le derivate parziali prime esistono e sono continue la derivata direzionale la puoi scrivere nella forma
$ (partialf)/(partial x)lambda_1+(partialf)/(partial y)lambda_2 $
questi requisiti, nell'interno del cerchio, le derivate parziali prime li hanno
$ (partialf)/(partial x)lambda_1+(partialf)/(partial y)lambda_2 $
questi requisiti, nell'interno del cerchio, le derivate parziali prime li hanno
Stormy, non riesco a capire l'applicazione operativa della formula che hai scritto... 
Calcolando le derivate parziali rispettivamente alle due variabili ho quanto segue:
$ (partial f)/(partial x) = -x/(sqrt(4-x^2-y^2) $ ; $ (partial f)/(partial y) = -y/(sqrt(4-x^2-y^2) $
Calcolando le derivate parziali rispettivamente alle due variabili ho quanto segue:
$ (partial f)/(partial x) = -x/(sqrt(4-x^2-y^2) $ ; $ (partial f)/(partial y) = -y/(sqrt(4-x^2-y^2) $
non dimenticare che stai sulla bisettrice del 1°e 3° quadrante e quindi $y=x$
in pratica devi risovere l'equazione
$-x/(sqrt(4-2x^2)) cdot 1/sqrt2-x/(sqrt(4-x^2))cdot1/sqrt2=1$
in pratica devi risovere l'equazione
$-x/(sqrt(4-2x^2)) cdot 1/sqrt2-x/(sqrt(4-x^2))cdot1/sqrt2=1$
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