Derivata di x^x
Devo calcolare la derivata di $y = x^x$.
lg y = x lgx
Non ho capito come mai il passaggio successivo, ottenuto derivando i due membri, è $dy/y$ = $(1 + lg x) dx$ e non $1/y = 1 + lgx$.
Per pietà, mi date una mano? Non posso andare a letto con questo pensiero atroce
lg y = x lgx
Non ho capito come mai il passaggio successivo, ottenuto derivando i due membri, è $dy/y$ = $(1 + lg x) dx$ e non $1/y = 1 + lgx$.
Per pietà, mi date una mano? Non posso andare a letto con questo pensiero atroce
Risposte
La $y$ è una funzione della $x$, per cui quando derivi $\log(y)$ ottieni la derivata di una funzione composta.
Ciao Ciampax,
il punto che non mi è chiaro però non è il logx + 1 che viene fuori derivando xlogx, ma quei dy e dx che non se ne vanno... anzi che devono proprio rimanere!
Grazie
il punto che non mi è chiaro però non è il logx + 1 che viene fuori derivando xlogx, ma quei dy e dx che non se ne vanno... anzi che devono proprio rimanere!
Grazie
Sinceramente, a me pare che sia scritta semplicemente una cosa formalmente un po' strana. Scritta meglio, puoi vederla così: $y=x^x$ per cui $\log y=x \log x$ da cui derivando rispetto a $x$ ambo i membri
${y'}/y=(\log x+1)$
da cui $y'=x^x(1+\log x)$.
In quella cosa che hai scritto tu sono stati lasciati i simboli di differenziale che, sinceramente, non è proprio una cosa bella da vedere.
${y'}/y=(\log x+1)$
da cui $y'=x^x(1+\log x)$.
In quella cosa che hai scritto tu sono stati lasciati i simboli di differenziale che, sinceramente, non è proprio una cosa bella da vedere.
Non sarebbe più semplice vederla così?
$f(x)=x^x=e^(xlog(x))$ quindi $f'(x) = { y = xlogx} = D(y)*D(e^y)=(1+log(x))*e^y = (1+log(x))*e^log(x^x) = (x^x)*(logx+1)$
$f(x)=x^x=e^(xlog(x))$ quindi $f'(x) = { y = xlogx} = D(y)*D(e^y)=(1+log(x))*e^y = (1+log(x))*e^log(x^x) = (x^x)*(logx+1)$
@jitter.
Gli interventi che ho letto dovrebbero già esserti bastati a risolvere i tuoi dubbi;
se però ti permane qualche difficoltà sul cosidetto metodo della derivata logaritmica
(io prediligo la via suggerita da Kashman,
perché mi par più breve e facilmente generalizzabile ai fini del calcolo di $D[f(x)]^(g(x))$,ma è solo questione di gusti),
preferisco,per "non sapere leggere né scrivere",provare a fare come quando i ragazzi venivan da me per non tornare dal teorico a chieder la terza spiegazione sullo stesso argomento
(come se il collega non conoscesse le difficoltà che esso tradizionalmente comporta..
San Carusaru,diceva la mia nonna,e pur da laico mi piaceva tanto il suono,
anche se forse,vista la Fonte,era troppo semplice che così fosse):
osserva che $f(x)=x^x rArr "log" f(x)=x"log"x rArr d("log" f(x))=d(x"log"x) rArr (f'(x))/(f(x))dx=("log"x+1)dx$
(per definizione formale di differenziale d'una funzione reale di una variabile reale,
unita ad alcuni noti teoremi sull'Algebra delle derivate che,però,non credo siano il tuo problema
)
$rArr f'(x)dx=f(x)*("log"x+1)dx$
(moltiplicazione "legittima",perché $f(x)>0$ $AA x in dom_f$)
$rArr dy=f(x)*("log"x+1)dx$(sempre per quella definizione formale,letta da dx a sx..)$=x^x*("log"x+1)$.
Spero che il mattino abbia avuto l'oro in bocca
(ma non alla Jack Nicholson sulle montagne austriache
):
saluti dal web.
Gli interventi che ho letto dovrebbero già esserti bastati a risolvere i tuoi dubbi;
se però ti permane qualche difficoltà sul cosidetto metodo della derivata logaritmica
(io prediligo la via suggerita da Kashman,
perché mi par più breve e facilmente generalizzabile ai fini del calcolo di $D[f(x)]^(g(x))$,ma è solo questione di gusti),
preferisco,per "non sapere leggere né scrivere",provare a fare come quando i ragazzi venivan da me per non tornare dal teorico a chieder la terza spiegazione sullo stesso argomento
(come se il collega non conoscesse le difficoltà che esso tradizionalmente comporta..
San Carusaru,diceva la mia nonna,e pur da laico mi piaceva tanto il suono,
anche se forse,vista la Fonte,era troppo semplice che così fosse):
osserva che $f(x)=x^x rArr "log" f(x)=x"log"x rArr d("log" f(x))=d(x"log"x) rArr (f'(x))/(f(x))dx=("log"x+1)dx$
(per definizione formale di differenziale d'una funzione reale di una variabile reale,
unita ad alcuni noti teoremi sull'Algebra delle derivate che,però,non credo siano il tuo problema
)$rArr f'(x)dx=f(x)*("log"x+1)dx$
(moltiplicazione "legittima",perché $f(x)>0$ $AA x in dom_f$)
$rArr dy=f(x)*("log"x+1)dx$(sempre per quella definizione formale,letta da dx a sx..)$=x^x*("log"x+1)$.
Spero che il mattino abbia avuto l'oro in bocca
(ma non alla Jack Nicholson sulle montagne austriache
):saluti dal web.
@Kashaman: giustissimo! Anche se volevo capire il metodo alternativo.
@Theras:
Macché, nella notte mi è apparso San Carasau, Carusaru, e mi ha fatto notare che è proprio la definizione formale di differenziale che applico in modo appunto troppo "formale", simbolico. Nel senso che c'è qualcosa di non completamente chiaro dal pdv concettuale e ogni tanto salta fuori. E' tempo di rimediare... Comunque la tua spiegazione l'ho capita, grazie
@Theras:
"theras":
Spero che il mattino abbia avuto l'oro in bocca
Macché, nella notte mi è apparso San Carasau, Carusaru, e mi ha fatto notare che è proprio la definizione formale di differenziale che applico in modo appunto troppo "formale", simbolico. Nel senso che c'è qualcosa di non completamente chiaro dal pdv concettuale e ogni tanto salta fuori. E' tempo di rimediare... Comunque la tua spiegazione l'ho capita, grazie
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