Derivata di una sommatoria

[ele871]

come faccio a fare la derivata?
$n!*e^x*sum_{k=0}^{n}(-1)^(n-k)*x^k/(k!)+c$

[_luca.barletta]

rispetto a chi?

[ele871]

intendi la variabile?rispetto a x. alla fine dovrei dimostrare che è uguale a $intx^n*e^xdx$

[_luca.barletta]

puoi trattarla come la derivata di un prodotto $f(x)g(x)$

[ele871]

sì ci ho provato ma appunto poi non so come fare la derivata della sommatoria...mi servirebbero i passaggi, almeno i primi...

[_luca.barletta]

la derivata è un operatore lineare, puoi portare il simbolo di derivata dentro la sommatoria

[ele871]

alla fine ho tralasciato quel metodo e ho ragionato x induzione...alla fine mi viene che $intx^n*e^xdx=x^(n+1)*e^x-(n+1)*intx^n*e^xdx$
l'espressione con la sommatoria mi viene esattamente con i segni invertiti...cosa posso aver sbagliato?

[_luca.barletta]

"ele87":$intx^n*e^xdx=x^(n+1)*e^x-(n+1)*intx^n*e^xdx$

No, è:

$intx^(n+1)*e^xdx=x^(n+1)*e^x-(n+1)*intx^n*e^xdx$

[ele871]

si si ho sbagliato solo a trascriverlo qui sul pc, però il problema è sempre quello, risolvendo tutti quei fattori con la sommatoria mi vengono i segni invertiti...

[_luca.barletta]

qual è il testo ufficiale del problema?

[ele871]

dimostrare che $intx^n*e^xdx=n!*e^x*sum_{k=0}^{n}(-1)^(n-k)*x^k/(k!)+c$
per ogni n>=0.
Potevamo farla per induzione oppure con la derivata...

[_luca.barletta]

Con induzione e integrazione per parti viene semplice

[ele871]

sì ho visto ma il segno non mi viene...

[_luca.barletta]

il segno va a posto se tieni conto che -1 deve essere elevato a n+1-k

[ele871]

scusa se rompo...ho capito però ora mi vengono i due termini entrambi col segno + mentre quello con l'integrale dovrebbe essere col segno -...

[_luca.barletta]

parti da qui:

$intx^(n+1)*e^xdx=x^(n+1)*e^x-(n+1)*intx^n*e^xdx$

ora sai che: $intx^n*e^xdx=n!*e^x*sum_{k=0}^{n}(-1)^(n-k)*x^k/(k!)+c$

quindi sostituisci nella prima, dopo un po' di passaggi dovresti riuscirci

[ele871]

grazie!!!e scusa il disturbo