Derivata di una Serie
Allora, salve a tutti.
Non mi è chiaro un risultato che viene ottenuto applicando questo teorema per ottenere un certo risultato:
$ sum_(n=0)^infty t^(n+1)/(n+1) $ converge in $ t=0 $ a $ 0 $ la chiamo $ F(0) $
La serie delle derivate $ sum_(n=0)^infty t^n $ converge uniformemente a $ G(t)=1/(1-t) $ in $ |t|<=r<1 $ per ogni $ 0
Queste ipotesi mi garantiscono tre cose in base al teorema: in $ |t|<=r<1 $ per ogni $ 0
$ 1) $ $ sum_(n=0)^infty t^(n+1)/(n+1) $ converge uniformemente con somma $ F(t) $
$ 2) $ $ F(t) $ è derivabile, anzi di classe almeno $ C^1 $ essendolo il termine generale della serie di partenza.
$ 3) $ $ F^{\prime}(t)=G(t)=1/(1-t) $
Ora integrando su $ [0,x] $ con $ x in [-r,r] $ essendo $ F^{\prime}(t) $ continua posso scrivere:
$ F(x)-F(0)=-log(1-x) $
Il punto è che tutto questo vale sull'intervallo $ [-r,r] $ mentre successivamente mi viene detto che questa è la dimostrazione che $ F(x)=-log(1-x) $ in $ (-1,1) $ almeno puntualmente. Mentre a rigore potrei dirlo solo una volta fissato $ r $ sull'insieme $ |x|<=r<1 $
L'unica risposta che mi sono dato è che $ r $ è arbitrario quindi la seconda e la terza conseguenza valgono su $ (-1,1) $, tuttavia pensarla così non mi convince perchè riguardando le tre conseguenze ottenute l'arbitrarietà di $ r $ mi porterebbe anche a dire che la convergenza uniforme si abbia in $ (-1,1) $, infatti perchè dovrei privilegiare la terza conseguenza rispetto alla prima.
O c'è qualcosa che non riesco a vedere oppure conosco una versione del teorema ridotta, grazie per aver letto.
Non mi è chiaro un risultato che viene ottenuto applicando questo teorema per ottenere un certo risultato:
$ sum_(n=0)^infty t^(n+1)/(n+1) $ converge in $ t=0 $ a $ 0 $ la chiamo $ F(0) $
La serie delle derivate $ sum_(n=0)^infty t^n $ converge uniformemente a $ G(t)=1/(1-t) $ in $ |t|<=r<1 $ per ogni $ 0
Queste ipotesi mi garantiscono tre cose in base al teorema: in $ |t|<=r<1 $ per ogni $ 0
$ 1) $ $ sum_(n=0)^infty t^(n+1)/(n+1) $ converge uniformemente con somma $ F(t) $
$ 2) $ $ F(t) $ è derivabile, anzi di classe almeno $ C^1 $ essendolo il termine generale della serie di partenza.
$ 3) $ $ F^{\prime}(t)=G(t)=1/(1-t) $
Ora integrando su $ [0,x] $ con $ x in [-r,r] $ essendo $ F^{\prime}(t) $ continua posso scrivere:
$ F(x)-F(0)=-log(1-x) $
Il punto è che tutto questo vale sull'intervallo $ [-r,r] $ mentre successivamente mi viene detto che questa è la dimostrazione che $ F(x)=-log(1-x) $ in $ (-1,1) $ almeno puntualmente. Mentre a rigore potrei dirlo solo una volta fissato $ r $ sull'insieme $ |x|<=r<1 $
L'unica risposta che mi sono dato è che $ r $ è arbitrario quindi la seconda e la terza conseguenza valgono su $ (-1,1) $, tuttavia pensarla così non mi convince perchè riguardando le tre conseguenze ottenute l'arbitrarietà di $ r $ mi porterebbe anche a dire che la convergenza uniforme si abbia in $ (-1,1) $, infatti perchè dovrei privilegiare la terza conseguenza rispetto alla prima.
O c'è qualcosa che non riesco a vedere oppure conosco una versione del teorema ridotta, grazie per aver letto.
Risposte
Tutte le condizioni puntuali si estendono a (-1, 1) senza problemi. L'unica cosa che perdi è l'uniformità
Grazie mille, era proprio il tassello che mi mancava.
Modifica: purtroppo devo correggermi, non riesco a vedere la ragione di fondo, o forse non ho inteso.
La conseguenza $ 3) $ è essenzialmente il fulcro del teorema, cioè che la derivata di una serie (o meglio della sua somma) è uguale alla serie delle derivate ma solo sull'insieme di convergenza uniforme di quest'ultima. Ora per integrare su $ [0,x] $ con $ |x|<=r<1 $ io sfrutto proprio questa cosa, che mi permette di definire la derivata di $ F(t) $ e quindi di integrarla.
Supponiamo per esempio di fissare $ r=0.5 $ e di non essere in grado di verificare le ipotesi del teorema oltre quel valore, dalla semplice convergenza puntuale della serie delle derivate su $ (-1,1) $ e uniforme in $ (-0.5,0.5) $ non posso estendere $ F^{\prime}(t)=G(t)=1/(1-t) $ su $ (-1,1) $ e quindi non posso integrare definendo la funzione $ F(t)=-log(1-t) $ in $ (-1,1) $
Per cui mi resta da capire se tutto questo discenda dall'arbitrarietà di $ r $, che proprio per questo permette di estendere le proprietà puntuali su $ (-1,1) $
Modifica: purtroppo devo correggermi, non riesco a vedere la ragione di fondo, o forse non ho inteso.
La conseguenza $ 3) $ è essenzialmente il fulcro del teorema, cioè che la derivata di una serie (o meglio della sua somma) è uguale alla serie delle derivate ma solo sull'insieme di convergenza uniforme di quest'ultima. Ora per integrare su $ [0,x] $ con $ |x|<=r<1 $ io sfrutto proprio questa cosa, che mi permette di definire la derivata di $ F(t) $ e quindi di integrarla.
Supponiamo per esempio di fissare $ r=0.5 $ e di non essere in grado di verificare le ipotesi del teorema oltre quel valore, dalla semplice convergenza puntuale della serie delle derivate su $ (-1,1) $ e uniforme in $ (-0.5,0.5) $ non posso estendere $ F^{\prime}(t)=G(t)=1/(1-t) $ su $ (-1,1) $ e quindi non posso integrare definendo la funzione $ F(t)=-log(1-t) $ in $ (-1,1) $
Per cui mi resta da capire se tutto questo discenda dall'arbitrarietà di $ r $, che proprio per questo permette di estendere le proprietà puntuali su $ (-1,1) $
Ma si, devi solo riflettere un pochino sul concetto di "convergenza uniforme sui compatti". Fissa un valore di $t$ in $(-1, 1)$. Allora puoi sempre prendere $\epsilon$ tale che $t\in[-1+\epsilon, 1-\epsilon]$. In questo intervallo la convergenza è uniforme e puoi fare quello che vuoi. Fine
Ottimo, grazie mille!
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