Derivata di una serie
Buonasera,
ho un problema che è contemporaneamente di fisica/analisi/geometria e non so bene in quali e in quante io stia sbagliando.
Ho provato a ridurre il problema in questa maniera (nel senso che ho provato a scremare tutti i dettagli fisici e geometrici che ritengo di aver capito e mi è rimasto solamente questo)
Sia $ M_{ik} $ una certa matrice e q(x)= { q1(x) , q2(x) } una certa funzione vettoriale.
Prendiamo la serie:
$ T=sum_(i,k) M_{ik] * q_i * q_k $ dove i e k credo siano indici muti (quindi in teoria, la matrice potrebbe essere portata fuori (credo))
è vero che
$ {partial T} / {partial q_i} =sum_(i,k) M_{ik] * q_k $ ?
e che
$ {partial^2 T} / {partial q_i partialqk} =M_{ik} sum_(i,k)[ {partial^2 (q_i q_k)} / {partial q_i partialqk}] = M_{ik} $ ?
La stessa sarebbe ovviamente valida se al posto di T ci fosse una funzione L=T(q1,q2)- V(x) ? Sì, perchè V è indipendente dalle q e quindi si annulla sempre.
È giusto?
Grazie.
ho un problema che è contemporaneamente di fisica/analisi/geometria e non so bene in quali e in quante io stia sbagliando.
Ho provato a ridurre il problema in questa maniera (nel senso che ho provato a scremare tutti i dettagli fisici e geometrici che ritengo di aver capito e mi è rimasto solamente questo)
Sia $ M_{ik} $ una certa matrice e q(x)= { q1(x) , q2(x) } una certa funzione vettoriale.
Prendiamo la serie:
$ T=sum_(i,k) M_{ik] * q_i * q_k $ dove i e k credo siano indici muti (quindi in teoria, la matrice potrebbe essere portata fuori (credo))
è vero che
$ {partial T} / {partial q_i} =sum_(i,k) M_{ik] * q_k $ ?
e che
$ {partial^2 T} / {partial q_i partialqk} =M_{ik} sum_(i,k)[ {partial^2 (q_i q_k)} / {partial q_i partialqk}] = M_{ik} $ ?
La stessa sarebbe ovviamente valida se al posto di T ci fosse una funzione L=T(q1,q2)- V(x) ? Sì, perchè V è indipendente dalle q e quindi si annulla sempre.
È giusto?
Grazie.
Risposte
Anche qui non capisco la notazione. $q(x)$ e' una funzione vettoriale a due valori oppure $q(x) = \{q_1(x), q_2(x),q_3(x)...\}$ e' una successione di funzioni scalari? Nel primo caso, $M$ e' una matrice $2\times 2$?
Se $M$ e' una matrice $i,k$ possono assumere solo un numero finito di valori, e quindi $T$ non e' una serie; nel caso in cui $M$ sia una matrice $2 \times 2$, $T$ e' la somma di $4$ numeri.
In $ {partial T} / {partial q_i} =sum_(i,k) M_{ik] * q_k $ c'e' qualcosa che non va, in quanto il termine di destra non dipende da $i$, mentre quello di sinistra si'.
Tutto fa pensare che quella $T$ sia un'energia cinetica di qualcosa, ma da come hai scritto le cose non e' possibile capire dove si vuole arrivare ne' da dove si viene. Forse citare una fonte e/o almeno scrivere su cosa corrono gli indici potrebbe aiutare.
Se $M$ e' una matrice $i,k$ possono assumere solo un numero finito di valori, e quindi $T$ non e' una serie; nel caso in cui $M$ sia una matrice $2 \times 2$, $T$ e' la somma di $4$ numeri.
In $ {partial T} / {partial q_i} =sum_(i,k) M_{ik] * q_k $ c'e' qualcosa che non va, in quanto il termine di destra non dipende da $i$, mentre quello di sinistra si'.
Tutto fa pensare che quella $T$ sia un'energia cinetica di qualcosa, ma da come hai scritto le cose non e' possibile capire dove si vuole arrivare ne' da dove si viene. Forse citare una fonte e/o almeno scrivere su cosa corrono gli indici potrebbe aiutare.
Ok, allora facciamo le cose per bene:
La funzione X=X(q1,q2....qn) è la funzione delle trasformazioni in coordinate generalizzate.
es.
$ ul(X) ={ ( x=rho cos(theta) ),( y=rho sen(theta) ):} $
dove le $q_i$ sono $rho$ e $theta$, ovvero coordinate generalizzate dipendenti dal tempo.
Ora $M_{ik}$ è la matrice cinetica definita (a meno del termine massa/2) come:
$ {partial ul(X)}/ {partial q_i} * {partial ul(X)}/ {partial q_k} = sum_(h) {partial X_h}/ {partial q_i} * {partial X_h}/ {partial q_k} $
Quindi sì, nel caso detto prima di funzione vettoriale a due valori è una matrice 2x2.
T è l'espressione dell'energia cinetica per trasformazioni indipendenti dal tempo (sempre a meno di fattori 1/2 o cose così):
$ T= sum_(i,k ) M_{ik} * dot(q_i) * dot(q_k) $
dove le q puntate sono le derivate temporali delle q.
Ora la mia domanda è:
perchè la derivata seconda di T rispetto alle due $dot(q_i)$ è uguale alla matrice cinetica in i,k?
_______________
Edit:
Aaaaah. Scusa, ho capito solo ora la tua osservazione riguardo al termine di destra e di sinistra.
Sì è vero, il termine di destra se ne frega di i, perchè la matrice non viene sommata e anche sotto non dipende nè da i, nè da k.
Sono solo rimasti facendo copia e incolla.
La funzione X=X(q1,q2....qn) è la funzione delle trasformazioni in coordinate generalizzate.
es.
$ ul(X) ={ ( x=rho cos(theta) ),( y=rho sen(theta) ):} $
dove le $q_i$ sono $rho$ e $theta$, ovvero coordinate generalizzate dipendenti dal tempo.
Ora $M_{ik}$ è la matrice cinetica definita (a meno del termine massa/2) come:
$ {partial ul(X)}/ {partial q_i} * {partial ul(X)}/ {partial q_k} = sum_(h) {partial X_h}/ {partial q_i} * {partial X_h}/ {partial q_k} $
Quindi sì, nel caso detto prima di funzione vettoriale a due valori è una matrice 2x2.
T è l'espressione dell'energia cinetica per trasformazioni indipendenti dal tempo (sempre a meno di fattori 1/2 o cose così):
$ T= sum_(i,k ) M_{ik} * dot(q_i) * dot(q_k) $
dove le q puntate sono le derivate temporali delle q.
Ora la mia domanda è:
perchè la derivata seconda di T rispetto alle due $dot(q_i)$ è uguale alla matrice cinetica in i,k?
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Edit:
Aaaaah. Scusa, ho capito solo ora la tua osservazione riguardo al termine di destra e di sinistra.
Sì è vero, il termine di destra se ne frega di i, perchè la matrice non viene sommata e anche sotto non dipende nè da i, nè da k.
Sono solo rimasti facendo copia e incolla.
Non e' esattamente cosi'. C'e' un fattore $2$ di differenza. Prendiamo in generale una forma quadratica $p(x) = \sum_{ij} a_{ij} x_ix_j$, dove $A = (a_{ij})$ e' una matrice simmetrica.
Calcoliamo la matrice essiana di $p$. Vogliamo dimostrare che
$
{partial^2 p} / {partial x_h partial x_k} = 2 a_{hk}.
$
Infatti
$
{partial p} / {partial x_h} = {partial }/{partial x_h} (\sum_{ij} a_{ij} x_ix_j )= \sum_{ij} a_{ij}{partial ( x_ix_j)}/{ partial x_h} = \sum_{ij} a_{ij} (\delta_{ih}x_j + x_i\delta_{jh}) = \sum_j a_{hj}x_j + \sum_i a_{ih} x_i = 2\sum_{m} a_{hm} x_m.
$
Da qui e' facile concludere calcolando la derivata seconda.
Calcoliamo la matrice essiana di $p$. Vogliamo dimostrare che
$
{partial^2 p} / {partial x_h partial x_k} = 2 a_{hk}.
$
Infatti
$
{partial p} / {partial x_h} = {partial }/{partial x_h} (\sum_{ij} a_{ij} x_ix_j )= \sum_{ij} a_{ij}{partial ( x_ix_j)}/{ partial x_h} = \sum_{ij} a_{ij} (\delta_{ih}x_j + x_i\delta_{jh}) = \sum_j a_{hj}x_j + \sum_i a_{ih} x_i = 2\sum_{m} a_{hm} x_m.
$
Da qui e' facile concludere calcolando la derivata seconda.
Ok, quindi non sono uguali ma c'è un fattore 2 di differenza.
Tuttavia è giusto affermare che se il determinante di una è diverso da zero, lo sarà anche il determinante dell'altra, giusto?
A questo punto, dato che sei così gentile posso provare a complicare un po' la faccenda?
Se ho capito bene cioè, quanto abbiamo appena detto varebbe anche se definissimo T come:
$ T= (sum_(i,k)a_{ik} dot(q_i) dot(q_k)) + (sum_(i)b_i dot(q_i)) + c_o $
giusto?
Derivando due volte resta solo $ alpha cdot a_{ik} $ e possiamo di nuovo affermare che la non-singolarità di una matrice implica la non-singolarità dell'altra?
È corretto, vero?
Grazie.
Tuttavia è giusto affermare che se il determinante di una è diverso da zero, lo sarà anche il determinante dell'altra, giusto?
A questo punto, dato che sei così gentile posso provare a complicare un po' la faccenda?
Se ho capito bene cioè, quanto abbiamo appena detto varebbe anche se definissimo T come:
$ T= (sum_(i,k)a_{ik} dot(q_i) dot(q_k)) + (sum_(i)b_i dot(q_i)) + c_o $
giusto?
Derivando due volte resta solo $ alpha cdot a_{ik} $ e possiamo di nuovo affermare che la non-singolarità di una matrice implica la non-singolarità dell'altra?
È corretto, vero?
Grazie.
Si certo. Se una matrice è non singolare qualunque suo multiplo non nullo è non singolare.
Se in $T$ metti il termine lineare e quello costante, questi se ne vanno quando derivi la seconda volta (quello costante già quando derivi la prima). Quindi la non singolarità della parte quadratica dipende solo dalla non singolarità della matrice $a_{ij}$.
Se in $T$ metti il termine lineare e quello costante, questi se ne vanno quando derivi la seconda volta (quello costante già quando derivi la prima). Quindi la non singolarità della parte quadratica dipende solo dalla non singolarità della matrice $a_{ij}$.
[ot]qualche tempo fa stavo studiando anche io queste cose, ma non riuscivo a dimostrare l'invarianza dell'energia cinetica. qualcuno ha forse voglia di dare un occhio alla questione? grazie
viewtopic.php?f=19&t=120031[/ot]
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Ok..ora è tutto chiaro.
Grazie mille per l'aiuto!
Grazie mille per l'aiuto!
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