Derivata di una funzione integrale con integranda dipendente da due variabili
Ciao a tutti
Nella dimostrazione di un teorema mi sono imbattuto in questa relazione e non ho ben capito da dove venisse il risultato
$ d/dtint_(0)^(t) f(t,s) ds=f(t,t)+int_(0)^(t) d/dt f(t,s) ds $
Dalla relazione si potrebbe intuire che si ha un qualcosa relazionato con il teorema fondamentale del calcolo integrale e della derivata della funzione composta, ma in questo caso quello che non mi spiego è l'operazione di somma fra $ f(t,t) $ e l'integrale qualcuno sa darmi delle delucidazioni
Grazie in anticipo
Nella dimostrazione di un teorema mi sono imbattuto in questa relazione e non ho ben capito da dove venisse il risultato
$ d/dtint_(0)^(t) f(t,s) ds=f(t,t)+int_(0)^(t) d/dt f(t,s) ds $
Dalla relazione si potrebbe intuire che si ha un qualcosa relazionato con il teorema fondamentale del calcolo integrale e della derivata della funzione composta, ma in questo caso quello che non mi spiego è l'operazione di somma fra $ f(t,t) $ e l'integrale qualcuno sa darmi delle delucidazioni
Grazie in anticipo
Risposte
Semplicemente stai derivando una funzione di una sola variabile reale composta da applicazioni di una e due variabili, con quella di due variabili funzione integrale dipendente da un parametro.
In particolare, stai derivando una cosa fatta così:
\[
\phi (t) := F(\alpha (t), \beta (t)) = \int_0^{\beta (t)} f(\alpha (t),s)\ \text{d} s
\]
con \(\alpha, \beta:I\to \mathbb{R}\) ($I$ opportuno intervallo reale) di classe $C^1$ ed $F:\RR^2\to \RR$ definita ponendo:
\[
F(x,y):= \int_0^y f(x, s)\text{d} s
\]
con $f:\RR^2\to \RR$ continua (le condizioni si possono limare, ovviamente).
Il Teorema di Derivazione della Funzione Composta per funzioni di più variabili implica:
\[
\phi^\prime (t) := F_x(\alpha (t),\beta (t))\ \alpha^\prime (t) + F_y(\alpha (t),\beta (t))\ \beta^\prime (t)\; ;
\]
dato che dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale segue:
\[
F_y(x,y)=f(x,y)
\]
e dal Teorema di Derivazione sotto il Segno d'Integrale segue:
\[
F_x(x,y) = \int_0^y f_x(x,s)\ \text{d} s\; ,
\]
hai:
\[
\phi^\prime (t) = \alpha^\prime (t)\ \int_0^{\beta(t)} f_x(\alpha (t), s)\ \text{d} s + \beta^\prime (t)\ f(\alpha(t), \beta (t)).
\]
Posto \(\alpha (t)=t=\beta(t)\), ritrovi la formula che ti fornisce il testo (a parte il pedice $x$ nella derivata sotto integrale... Però se chiami direttamente $t$ la prima variabile da cui dipende $f$, è chiaro che devi prendere la derivata parziale di $f$ rispetto a $t$).
Più in generale, ragionando allo stesso modo si vede che se hai una funzione del tipo:
\[
\phi (t) := \int_{\gamma (t)}^{\beta (t)} f(\alpha_1(t),\ldots , \alpha_n(t), s)\ \text{d} s
\]
con $\alpha_1,\ldots, \alpha_n,\beta,\gamma :I\to \RR$ di classe $C^1$ ed $f:\RR^{n+1}\to \RR$ continua, la derivata prima di $\phi$ è:
\[
\phi^\prime (t) = \beta^\prime (t)\ f(\alpha_1(t),\ldots , \alpha_n(t), \beta(t)) - \gamma^\prime (t)\ f(\alpha_1(t),\ldots , \alpha_n(t), \gamma(t)) + \sum_{k=1}^n \alpha_k^\prime (t) \int_{\gamma(t)}^{\beta (t)} f_{x_k} (\alpha_1(t),\ldots , \alpha_n(t), s)\ \text{d} s\; .
\]
In particolare, stai derivando una cosa fatta così:
\[
\phi (t) := F(\alpha (t), \beta (t)) = \int_0^{\beta (t)} f(\alpha (t),s)\ \text{d} s
\]
con \(\alpha, \beta:I\to \mathbb{R}\) ($I$ opportuno intervallo reale) di classe $C^1$ ed $F:\RR^2\to \RR$ definita ponendo:
\[
F(x,y):= \int_0^y f(x, s)\text{d} s
\]
con $f:\RR^2\to \RR$ continua (le condizioni si possono limare, ovviamente).
Il Teorema di Derivazione della Funzione Composta per funzioni di più variabili implica:
\[
\phi^\prime (t) := F_x(\alpha (t),\beta (t))\ \alpha^\prime (t) + F_y(\alpha (t),\beta (t))\ \beta^\prime (t)\; ;
\]
dato che dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale segue:
\[
F_y(x,y)=f(x,y)
\]
e dal Teorema di Derivazione sotto il Segno d'Integrale segue:
\[
F_x(x,y) = \int_0^y f_x(x,s)\ \text{d} s\; ,
\]
hai:
\[
\phi^\prime (t) = \alpha^\prime (t)\ \int_0^{\beta(t)} f_x(\alpha (t), s)\ \text{d} s + \beta^\prime (t)\ f(\alpha(t), \beta (t)).
\]
Posto \(\alpha (t)=t=\beta(t)\), ritrovi la formula che ti fornisce il testo (a parte il pedice $x$ nella derivata sotto integrale... Però se chiami direttamente $t$ la prima variabile da cui dipende $f$, è chiaro che devi prendere la derivata parziale di $f$ rispetto a $t$).
Più in generale, ragionando allo stesso modo si vede che se hai una funzione del tipo:
\[
\phi (t) := \int_{\gamma (t)}^{\beta (t)} f(\alpha_1(t),\ldots , \alpha_n(t), s)\ \text{d} s
\]
con $\alpha_1,\ldots, \alpha_n,\beta,\gamma :I\to \RR$ di classe $C^1$ ed $f:\RR^{n+1}\to \RR$ continua, la derivata prima di $\phi$ è:
\[
\phi^\prime (t) = \beta^\prime (t)\ f(\alpha_1(t),\ldots , \alpha_n(t), \beta(t)) - \gamma^\prime (t)\ f(\alpha_1(t),\ldots , \alpha_n(t), \gamma(t)) + \sum_{k=1}^n \alpha_k^\prime (t) \int_{\gamma(t)}^{\beta (t)} f_{x_k} (\alpha_1(t),\ldots , \alpha_n(t), s)\ \text{d} s\; .
\]
Grazing mille, quindi nel mio caso visto che la funzione è :
$ \phi\(t)=int_(0)^(t)e^(A(t-s))Bu(s) ds $
Ottengo: $ e^(t-t)Bu(t)+int_(0)^(t)A e^(A(t-s))Bu(s)ds $
$ \phi\(t)=int_(0)^(t)e^(A(t-s))Bu(s) ds $
" gugo82":
\[ \phi^\prime (t) := F_x(\alpha (t),\beta (t))\ \alpha^\prime (t) + F_y(\alpha (t),\beta (t))\ \beta^\prime (t)\; ; \]
Ottengo: $ e^(t-t)Bu(t)+int_(0)^(t)A e^(A(t-s))Bu(s)ds $
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