Derivata di una funzione integrale

[roger16]

Come si risolve???


Grazie

[_Tipper]

Un minimo di presentazione (visto che è il primo messaggio), e un tentativo di risoluzione non guasterebbe... In ogni caso puoi provare ad indicare con $g(t)$ una generica primitiva dell'integranda per poi applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale.

[roger16]

Scusa se non mi sono presentato ma è dalle 8 che provo a fare questa derivata e non ci riesco...quindi non è che non ci ho provato... però non ho capito bene cosa intendi...potresti spiegarlo in altri termini?

Grazie

[_Tipper]

La funzione $\log(\log(t))$, dove è definita, è continua, pertanto ammette infinite primitive. Detta $g(t)$ una sua primitiva, per il teorema fondamentale del calcolo risulta $\int_e^x \log(\log(t)) dt = g(x) - g(e)$. Adesso fai le derivate secondo le regole di derivazione di un prodotto, ricordando chi è poi la derivata di $g$.

[pat871]

Sia
$F(x) := (1)/(x^2) \int_e^(x) log(log(t)) dt$
Chiamiamo $g(t) = log(log(t))$, e $G(t)$ una sua primitiva (esiste visto che la funzione è continua e limitata in $[e,x]$).
Allora:
$F(x) = (G(x) - G(e))/(x^2) $
per il teorema fondamentale del calcolo integrale.
Derivando si ottiene:
$(d)/(dx) F(x) = (d)/(dx) ((G(x) - G(e))/(x^2)) = (x^2*(d)/(dx)(G(x) - G(e)) - 2x*(G(x) - G(e)))/(x^4) = (x^2*g(x) - 2x*\int_e^(x) log(log(t)) dt)/(x^4) = (log(log(x)))/(x^2) - (2)/(x^3) \int_e^(x) log(log(t)) dt$
E questa è la derivata di F.

Se non hai capito chiedi pure, ciao!