Derivata di una funzione integrale
salve a tutti
ho il seguente esercizio
sia $X=C([0,1])$ e $Y={u in C([0,1]):u(0)=u'(0)=0}$
$AA u in Y$ si ponga $Tu(x)=\int_{0}^{x} (x-t)u(t)dt$ con $x in [0,1]$
verificare che $Tu(x)$ è una mappa $X->Y$
devo verificare
$Tu(x)$ continua in $[0,1]$
$Tu(0)=0$
$(Tu(0))'=0$
ho prolemi a verificare quest'ultima
se non sbaglio l derivata di una funzione $\int_{g(x)}^{f(x)} h(t)dt$ è $H(t)=f'(x)h(f(x))-g'(x)h(g(x))$ no?
ma allora otterrei $(Tu(x))'=(x')(x-x)u(x)-(0')(x-0)u(0)=0$ $AAx$
mentre il professore scrive "per il teorema fondamentale del calcolo integrale $(Tu)'(x)=\int_{0}^{x} u(t)dt +xu(x)-xu(x)=\int_{0}^{x} u(t)dt $"
e proprio non cpisco questa soluzione;mi aiutate?
ho il seguente esercizio
sia $X=C([0,1])$ e $Y={u in C([0,1]):u(0)=u'(0)=0}$
$AA u in Y$ si ponga $Tu(x)=\int_{0}^{x} (x-t)u(t)dt$ con $x in [0,1]$
verificare che $Tu(x)$ è una mappa $X->Y$
devo verificare
$Tu(x)$ continua in $[0,1]$
$Tu(0)=0$
$(Tu(0))'=0$
ho prolemi a verificare quest'ultima
se non sbaglio l derivata di una funzione $\int_{g(x)}^{f(x)} h(t)dt$ è $H(t)=f'(x)h(f(x))-g'(x)h(g(x))$ no?
ma allora otterrei $(Tu(x))'=(x')(x-x)u(x)-(0')(x-0)u(0)=0$ $AAx$
mentre il professore scrive "per il teorema fondamentale del calcolo integrale $(Tu)'(x)=\int_{0}^{x} u(t)dt +xu(x)-xu(x)=\int_{0}^{x} u(t)dt $"
e proprio non cpisco questa soluzione;mi aiutate?
Risposte
Semplicemente hai:
\[
Tu(x) = x\ \int_0^x u(t)\ \text{d} t - \int_0^x t\ u(t)\ \text{d} t
\]
per la distributività dell'integrale; dalle proprietà della funzione integrale (cioé dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale) segue che \(Tu\) è \(C^1\) e che:
\[
\left(Tu \right)^\prime (x) = \int_0^x u(t)\ \text{d} t + x\ u(x) - x\ u(x) = \int_0^x u(t)\ \text{d} t\; ,
\]
sicché \(\left(Tu\right)^\prime (0) =0\). D'altra parte, per le proprietà della funzione integrale hai \(\left( Tu\right)^\prime \in C^1\), ossia \(Tu \in C^2\), e pure:
\[
\left( Tu\right)^{\prime \prime} (x) =u(x)\; .
\]
D'altra parte ciò non stupisce, poiché da Analisi I dovresti sapere che le primitive del secondo ordine di una funzione continua \(u\), cioé tutte le funzioni \(U\) che hanno \(U^{\prime \prime}(x) =u(x)\), sono tutte e sole le funzioni nella forma:
\[
U(x) = U_0 + U_0^\prime x + \int_0^x (x-t)\ u(t)\ \text{d} t
\]
con \(U_0,U_0^\prime\in \mathbb{R}\) arbitrarie.
\[
Tu(x) = x\ \int_0^x u(t)\ \text{d} t - \int_0^x t\ u(t)\ \text{d} t
\]
per la distributività dell'integrale; dalle proprietà della funzione integrale (cioé dal Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale) segue che \(Tu\) è \(C^1\) e che:
\[
\left(Tu \right)^\prime (x) = \int_0^x u(t)\ \text{d} t + x\ u(x) - x\ u(x) = \int_0^x u(t)\ \text{d} t\; ,
\]
sicché \(\left(Tu\right)^\prime (0) =0\). D'altra parte, per le proprietà della funzione integrale hai \(\left( Tu\right)^\prime \in C^1\), ossia \(Tu \in C^2\), e pure:
\[
\left( Tu\right)^{\prime \prime} (x) =u(x)\; .
\]
D'altra parte ciò non stupisce, poiché da Analisi I dovresti sapere che le primitive del secondo ordine di una funzione continua \(u\), cioé tutte le funzioni \(U\) che hanno \(U^{\prime \prime}(x) =u(x)\), sono tutte e sole le funzioni nella forma:
\[
U(x) = U_0 + U_0^\prime x + \int_0^x (x-t)\ u(t)\ \text{d} t
\]
con \(U_0,U_0^\prime\in \mathbb{R}\) arbitrarie.
ok,ho capito da dove proviene la soluzione del professore,ma non capisco in cosa è errato il mio procedimento..non ho pplicato correttamente la formula?
"Benihime":
non capisco in cosa è errato il mio procedimento..non ho pplicato correttamente la formula?
Più che altro applichi una formula sbagliata poiché non tieni conto che la funzione integranda è funzione anche di \(x\).
Ti ricordo che la derivata di una funzione del tipo:
\[
F(x) := \int_{g(x)}^{f(x)} h(x,t)\ \text{d} t
\]
(con \(f\), \(g\) ed \(h\) sufficientemente "buone") è:
\[
F^\prime (x) = h(x,f(x))\ f^\prime (x) - h(x,g(x))\ g^\prime (x) + \int_{g(x)}^{f(x)} \frac{\partial h}{\partial x}(x,t)\ \text{d} t\; .
\]
aaah!!!ok non lo sapevo!!!!
scusa sai,ma la derivata di una funzione integrale l'ho fatta solo per il calcolo in una variabile,non c'ho pensato che potesse cambiare...grazie mille!!!!
scusa sai,ma la derivata di una funzione integrale l'ho fatta solo per il calcolo in una variabile,non c'ho pensato che potesse cambiare...grazie mille!!!!
Va bene...
Allora, per esercizio, ti lascio da dimostrare che se \(h(x,t)\) è di classe \(C^1\) nel "rettangolo" \(I\times [a,b]\) (\(I\) è un intervallo non degenere qualsiasi), la funzione \(F:I\to \mathbb{R}\) definita ponendo \(F(x):=\int_a^b h(x,t)\ \text{d} t\) è derivabile in \(I\) e risulta:
\[
F^\prime (x) = \int_a^b \frac{\partial h}{\partial x}(x,t)\ \text{d} t\; .
\]
Allora, per esercizio, ti lascio da dimostrare che se \(h(x,t)\) è di classe \(C^1\) nel "rettangolo" \(I\times [a,b]\) (\(I\) è un intervallo non degenere qualsiasi), la funzione \(F:I\to \mathbb{R}\) definita ponendo \(F(x):=\int_a^b h(x,t)\ \text{d} t\) è derivabile in \(I\) e risulta:
\[
F^\prime (x) = \int_a^b \frac{\partial h}{\partial x}(x,t)\ \text{d} t\; .
\]
appena ho un po di tempo libero ci proverò senz'altro,grazie mille per gli spunti di riflessione 
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