Derivata di una funzione in valore assoluto |x|
A dire il vero forse avrei dovuto intitolare questo topic derivatE, in quanto ci sono un po' di esercizi (il 90%) dove compare il valore assoluto. Ora il problema è che non ho idea di come comportarmi per risolvere il problema, facciamo un esempio pratico:
Calcolare la Derivata sinistra in $x=0$ di:
$f(x) = |sin(|x|-5x) -x sqrt(|x -3|)|$
Che faccio? Ah il risultato è $-6-sqrt3$
Intendiamoci quando si tratta di funzioni un po' più semplici da trattare riesco a fare qualcosa, ma qui non riesco ad impostare nulla che mi porti ad un qualche risultato. Intendiamoci più che a risolvere questo esercizio specifico sto cercando sempre il "modo" di pensare per impostare e risolvere problemi simili, ne ho a tonnellate di funzioni dove non riesco a metter mano per questo motivo... in sostanza come la imposto, e soprattutto perchè?
Ah c'è anche un altro esercizio dove ho $|x|$ come esponente $f(x) = -e^(3|x|)$ qui addirittura ho bisogno di fare la derivata secondo in quanto devo studiare concavità e convessità... se non ci fosse quel $|x|$ nessun problema ma così come ragiono?
è grave?
Calcolare la Derivata sinistra in $x=0$ di:
$f(x) = |sin(|x|-5x) -x sqrt(|x -3|)|$
Che faccio? Ah il risultato è $-6-sqrt3$
Intendiamoci quando si tratta di funzioni un po' più semplici da trattare riesco a fare qualcosa, ma qui non riesco ad impostare nulla che mi porti ad un qualche risultato. Intendiamoci più che a risolvere questo esercizio specifico sto cercando sempre il "modo" di pensare per impostare e risolvere problemi simili, ne ho a tonnellate di funzioni dove non riesco a metter mano per questo motivo... in sostanza come la imposto, e soprattutto perchè?
Ah c'è anche un altro esercizio dove ho $|x|$ come esponente $f(x) = -e^(3|x|)$ qui addirittura ho bisogno di fare la derivata secondo in quanto devo studiare concavità e convessità... se non ci fosse quel $|x|$ nessun problema ma così come ragiono?
è grave?
Risposte
Non è molto difficile... basta ricordare che $ |x| = x $ se $ x>=0 $ mentre $ |x| = -x $ se $ x < 0 $. Nel tuo caso la derivata sinistra nel punto 0 vuol dire che $ x < 0 $ e $ x-3 < 0 $ perciò basta che nella tua funzioni togli i moduli e sostituisci $ -x $ al posto del primo e $ 3-x $ al posto del secondo, dopodiché derivi normalmente
Devi applicare correttamente la definizione di modulo che qui applico al caso specifico :
$|x | = x$ se $ x>=0 $
= $-x $ se $ x< 0 $.
$|x-3 | = x-3 $ se $ x> =3 $
= $3-x $ se $ x< 3 $.
In generale : $|f(x) | = f(x)$ per $f(x) >= 0 $
= $-f(x) $ per $ f(x) < 0 $.
Nel caso specifico dobbiamo considerare un intorno sinistro di 0 , quindi $x < 0 $, perciò :
$|x | = - x $ ; $|x-3| = 3-x $.
La funzione diventa allora : $f(x) = |sin(-x-5x)-xsqrt(3-x)| = | sin(-6x)-xsqrt(3-x) |$.
Ma nell'intorno sinistro di 0, entrambi i termini entro il modulo sono positivi e allora la funzione diventa , dopo aver sciolto il modulo :
$ f(x) = sin(-6x)-xsqrt(3-x) = -sin(6x) -xsqrt(3-x)$.
Adesso calcola la derivata e ottieni : $ f'(x) = -6cos(6x)-sqrt(3-x)+x/(2sqrt(3-x)) $.
Calcolando lim per x che tende a $0^(-) $ ottieni :$ -6-sqrt(3) $.
Camillo
$|x | = x$ se $ x>=0 $
= $-x $ se $ x< 0 $.
$|x-3 | = x-3 $ se $ x> =3 $
= $3-x $ se $ x< 3 $.
In generale : $|f(x) | = f(x)$ per $f(x) >= 0 $
= $-f(x) $ per $ f(x) < 0 $.
Nel caso specifico dobbiamo considerare un intorno sinistro di 0 , quindi $x < 0 $, perciò :
$|x | = - x $ ; $|x-3| = 3-x $.
La funzione diventa allora : $f(x) = |sin(-x-5x)-xsqrt(3-x)| = | sin(-6x)-xsqrt(3-x) |$.
Ma nell'intorno sinistro di 0, entrambi i termini entro il modulo sono positivi e allora la funzione diventa , dopo aver sciolto il modulo :
$ f(x) = sin(-6x)-xsqrt(3-x) = -sin(6x) -xsqrt(3-x)$.
Adesso calcola la derivata e ottieni : $ f'(x) = -6cos(6x)-sqrt(3-x)+x/(2sqrt(3-x)) $.
Calcolando lim per x che tende a $0^(-) $ ottieni :$ -6-sqrt(3) $.
Camillo
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