Derivata di una funzione in una variabile

[chiav53]

Se io ho una funzione $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, quindi una funzione in due variabili e per $\b\in\mathbb{R}^2, d\in\mathbb{R}^2$ vettori fissati mi definisco la funzione $\phi(\alpha)=f( b+\alpha d)$, quale è la derivata seconda di tale funzione?
Perché dovrei avere che $\phi'(\alpha)=\gradf(b+\alpha d)^T d$, ma la derivata seconda?
Grazie

[Emar1]

NB: Utilizzerò il gradiente come vettore riga e il \(\cdot\) per il prodotto matrice vettore per favorire la leggibilità

Proviamo a sporcarci le mani con le coordinate:
\[\varphi '(\alpha) = d_1\partial_x f(\mathbf{r}(\alpha)) + d_2\partial_y f(\mathbf{r}(\alpha)) = d_1G_1(\mathbf{r}(\alpha)) + d_2G_2(\mathbf{r}(\alpha))\]
Avendo posto \(G_1 = \partial_x f\) e \(G_2 = \partial_y f\). Da cui:
\[\varphi ''(\alpha) = d_1 \nabla G_1(\mathbf{r}(\alpha)) \mathbf{r}'(\alpha) + d_2 \nabla G_2(\mathbf{r}(\alpha)) \mathbf{r}'(\alpha) \]
Che possiamo pensare come:
\[\begin{pmatrix} d_1(\nabla G_1)(\mathbf{r}(\alpha)) \\ d_2(\nabla G_2)(\mathbf{r}(\alpha)) \end{pmatrix} \cdot \mathbf{r}'(\alpha) = \mathbf{d}^T \cdot \left(\begin{pmatrix} \frac{\partial G_1}{\partial x}(\mathbf{r}(\alpha)) & \frac{\partial G_1}{\partial y}(\mathbf{r}(\alpha)) \\ \frac{\partial G_2}{\partial x}(\mathbf{r}(\alpha)) & \frac{\partial G_2}{\partial y}(\mathbf{r}(\alpha))\end{pmatrix} \cdot \mathbf{r}'(\alpha) \right)\]

Se ora ci ricordiamo che \(G_1 = \partial_x f\) e \(G_2 = \partial_y f\):
\[ \mathbf{d}^T \cdot \left(\begin{pmatrix} \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}(\mathbf{r}(\alpha)) & \frac{\partial^2 f}{\partial yx}(\mathbf{r}(\alpha)) \\ \frac{\partial^2 f}{\partial xy}(\mathbf{r}(\alpha)) & \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}(\mathbf{r}(\alpha))\end{pmatrix} \cdot \mathbf{r}'(\alpha) \right)\]
La matrice non è altro che l'hessiana di \(f\) calcolata in \(\mathbf{r}(\alpha)\), ovvero:
\[\varphi''(\alpha) = \mathbf{d}^T \cdot \left( \mathbf{H}_f(\mathbf{r}(\alpha)) \cdot \mathbf{d}\right)\]

A questo risultato ci si poteva arrivare anche implicitamente ma bisogna stare molto attenti a quali sono vettori riga e quali colonna. Per esempio si potrebbe fare:
\[\varphi ''(\alpha) = \frac{d}{d\alpha} \left( \nabla f (\mathbf{r}(\alpha)) \cdot \mathbf{d}\right) = \frac{d}{d\alpha} \left( \nabla f (\mathbf{r}(\alpha))\right) \cdot \mathbf{d} = \left( \mathbf{r}'(\alpha)^T \cdot \mathbf{J}^T_{\nabla f} (\mathbf{r}(\alpha)) \right) \cdot \mathbf{d} = \mathbf{d}^T \cdot \mathbf{H}_f(\mathbf{r}(\alpha)) \cdot \mathbf{d} \]

Spero di non aver fatto errori

[gugo82]

"chiav53":Se io ho una funzione $f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}$, quindi una funzione in due variabili e per $\b\in\mathbb{R}^2, d\in\mathbb{R}^2$ vettori fissati mi definisco la funzione $\phi(\alpha)=f( b+\alpha d)$, quale è la derivata seconda di tale funzione?
Perché dovrei avere che $\phi'(\alpha)=\gradf(b+\alpha d)^T d$, ma la derivata seconda?
Grazie

Scrivendo esplicitamente:
\[
\varphi^\prime (\alpha ) = f_x (\mathbf{b} + \alpha\ \mathbf{d})\ d_1 + f_y (\mathbf{b} + \alpha\ \mathbf{d})\ d_2
\]
non credo sia poi tanto difficile calcolare la derivata seconda, anche non ricorrendo a formuloni di Calcolo Differenziale già pronti...

Oppure, basta vederla a livello operatoriale. Infatti, hai:
\[
\frac{\text{d}}{\text{d} \alpha} = \frac{\partial}{\partial x}\ \frac{\text{d} x}{\text{d} \alpha} + \frac{\partial}{\partial y}\ \frac{\text{d} y}{\text{d} \alpha}
\]
dunque:
\[
\begin{split}
\frac{\text{d}^2}{\text{d} \alpha^2} &= \frac{\text{d}}{\text{d} \alpha}\left[ \frac{\text{d}}{\text{d} \alpha}\right]\\
&= \frac{\text{d}}{\text{d} \alpha}\left[\frac{\partial}{\partial x}\ \frac{\text{d} x}{\text{d} \alpha}\right] + \frac{\text{d}}{\text{d} \alpha}\left[\frac{\partial}{\partial y}\ \frac{\text{d} y}{\text{d} \alpha}\right]\\
&= \cdots
\end{split}
\]