Derivata di una funzione esponenziale

[BeNdErR]

Ciao a tutti,

dovrei calcolare la derivata della seguente funzione: $(sinx)^x$

usando la formula $D[f(x)]^g(x) = [f(x)]^g(x) [g'(x)lnf(x)+g(x)((f'(x))/(f(x)))]$ riesco a calcolarlo (risultato $(sqrt(3)/2)^(pi/3)(log(sqrt(3)/2)+(pi/(3sqrt3)))$) ma non riesco a capire su quali regole si basi la formula.. potete aiutarmi?

suppongo che centrino le seguenti formule:
$Df(g(x)) = f'(g(x))*g'(x) $
$Da^(f(x))=a^(f(x))lnaf'(x)$

ma non capisco come vengano usate o come venga "scomposta" la funzione iniziale...

Grazie, saluti

[Studente Anonimo]

Prova a scrivere la funzione $f(x)^g(x)$ con la nota identità logaritmica $f(x)^g(x)=e^(g(x)lnf(x))$. Adesso deriva questa funzione e ottieni la formula che cerchi.

[BeNdErR]

Fantastico, grazie mille!

Quindi, passo per passo la risoluzione dovrebbe essere la seguente:

$k(x) = (sinx)^2 = e^(ln(sinx)^x) = e^(xln(sinx))$ che identifico nella forma $ k(x) = f(x)^(g(x))$

utilizzando la formula $k'(x) = f'(g(x))*g'(x)$ ottengo quanto segue:

1) $f'g(x) = e^(xln(sinx))$
2) $g'(x) = D[xln(sinx)] = D[x]*(ln(sinx)) + x*D[ln(sinx)] = D[x]*(ln(sinx)) + x*D[ln(sinx)]*D[sinx]$

quindi :

$k'(x) = f'(g(x))*g'(x) = e^(xln(sinx))*1*ln(sinx)+x*1/(sinx)*cosx = (sinx)^x*ln(sinx)+x*cosx/(senx)$

e calcolando $f'(x)$ per $x = pi/3$ ottengo il risultato in precedenza.

Grazie ancora dell'aiuto!