Derivata di una distribuzione (esempio funzione a gradino di Heaviside )

[Nick_931]

Buongiorno ragazzi =) stamattina sono alle prese con le derivate di distribuzioni e mi chiedevo se potreste aiutarmi a capire un concetto che non ho ben chiaro

La derivata di una distribuzione è definita come

$ D'(f)=\int D'(x)f(x)dx $

e procedendo con l'integrazione per parti, essendo f una funzione infinitamente derivabile, risulta che

$ D'(f)=-D(f') $

ora questa proprietà che vale per i funzionali lineari, vale anche per le funzioni che li rappresentano

Per esempio, ho la funzione gradino di Heaviside e so che, procedendo come accennato sopra, la derivata è uguale alla delta di Dirac

$ H'(f)=\delta_0(f) $

ora, sicuramente è una cosa banale, ma non ho ben chiaro da dove tiro fuori che anche per le funzioni che li rappresentano vale che

$ H'(x)=\delta(x) $

?

[gugo82]

"Nick_93":Buongiorno ragazzi =) stamattina sono alle prese con le derivate di distribuzioni e mi chiedevo se potreste aiutarmi a capire un concetto che non ho ben chiaro

La derivata di una distribuzione è definita come

$ D'(f)=\int D'(x)f(x)dx $

e procedendo con l'integrazione per parti, essendo f una funzione infinitamente derivabile, risulta che

$ D'(f)=-D(f') $

ora questa proprietà che vale per i funzionali lineari, vale anche per le funzioni che li rappresentano

Questo non è proprio l'ordine esatto delle cose...

Come ho detto più volte, una distribuzione è una funzione (che, per evitare confusione, si chiama funzionale) definita su uno spazio di funzioni (i.e., lo spazio dei test).
Alcune distribuzioni si ottengono mediante integrali contro funzioni localmente sommabili; in altre parole, se si prende una funzione \(f\in L_{\text{loc}}^1\), allora la distribuzione \(F\) individuata da \(f\) è il funzionale che ad ogni test \(\phi\) associa il numero reale:
\[
\langle F,\phi \rangle := \int f(x)\ \phi (x)\ \text{d} x\; ,
\]
che si denota anche col simbolo \(F(\phi)\).
In generale, però, non è detto che una distribuzione sia rappresentabile mediante un integrale contro una funzione \(L_{\text{loc}}^1\): ad esempio, la \(\delta\) non si può rappresentare come sopra, cioé non esiste alcuna funzione \(d\in L_{\text{loc}}^1\) tale che l'uguaglianza:
\[
\phi (0)=: \langle \delta, \phi \rangle =\int d(x)\ \phi (x)\ \text{d} x
\]
valga per ogni test \(\phi\).
Le distribuzioni che non godono di rappresentazione integrale si chiamano distribuzioni singolari, mentre quelle rappresentabili mediante integrale contro una funzione localmente sommabile vengono dette distribuzioni regolari.

Ora, se \(F\) è una distribuzione regolare con un rappresentante \(f\in C^1\), allora il trucco della derivazione per parti consente di scrivere:
\[
\int f^\prime (x)\ \phi (x)\ \text{d} x = -\int f(x)\ \phi^\prime (x)\ \text{d} x
\]
cosicché la distribuzione determinata da \(f^\prime\) si può esprimere in funzione della distribuzione \(F\) determinata da \(f\); scegliendo di denotare col simbolo \(F^\prime\) la distribuzione determinata da \(f^\prime\), la precedente si riscrive:
\[
\langle F^\prime ,\phi \rangle = -\langle F, \phi^\prime \rangle\; .
\]
Dato che il secondo membro della precedente uguaglianza ha senso per ogni distribuzione \(F\) (sia regolare, sia singolare), si può sempre definire la distribuzione \(F^\prime\) come quel funzionale che ad ogni test \(\phi\) assegna il numero reale:
\[
\langle F^\prime ,\phi \rangle := - \langle F, \phi^\prime \rangle\; ;
\]
la \(F^\prime\) è detta derivata distribuzionale di \(F\). Da qui segue che tutte le distribuzioni sono derivabili in senso distribuzionale.

Chiaramente, se \(F\) è individuata da \(f\in C^1\) allora la \(F^\prime\) è individuata da \(f^\prime\); perciò, se si conviene di identificare \(F\) con \(f\) (con evidentissimo abuso di notazione, in quanto \(F\) ed \(f\) operano su argomenti diversi!), si può dire che la derivata distribuzionale di \(f\) coincide con quella usuale.
Se, però, \(F\) non è individuata da una funzione \(C^1\) la conclusione di cui sopra non ha alcun significato.

Quindi, ad esempio, la domanda che poni qui:

"Nick_93":Per esempio, ho la funzione gradino di Heaviside e so che, procedendo come accennato sopra, la derivata è uguale alla delta di Dirac

$ H'(f)=\delta_0(f) $

ora, sicuramente è una cosa banale, ma non ho ben chiaro da dove tiro fuori che anche per le funzioni che li rappresentano vale che

$ H'(x)=\delta(x) $

?

non ha significato, perché 1) la funzione di Heaviside \(H\) non è \(C^1\) e 2) la \(\delta\) non è una funzione.

[Nick_931]

Ok ora la situazione è un po più chiara Quindi preso nota dell' abuso di notazione, se mi si chiede di verificare nel senso delle distribuzioni, quale sia la derivata

$ (H(x)cos x)' $

procedo semplicemente facendo la derivata, cioè:

$ (H(x)cos x)'=H'(x)cos x-H(x)sin x $

?

[gugo82]

Con le derivate distribuzionali accadono cose un po' strane: vedi qui.

Ad ogni modo, se non vuoi sbagliare, ti conviene ragionare usando la definizione.
Per definizione, se \(a\in C^\infty\), la distribuzione \(aF\) è quella definita ponendo:
\[
\langle a\ F, \phi\rangle := \langle F, a\ \phi \rangle\; .
\]
Ora, per definizione di derivata distribuzionale e per il teorema sulla derivata del prodotto, hai:
\[
\begin{split}
\langle (a\ F)^\prime, \phi\rangle &= -\langle a\ F, \phi^\prime \rangle\\
&= -\langle F, a\ \phi^\prime \rangle\\
&= -\langle F, (a\ \phi)^\prime - a^\prime\ \phi\rangle \\
&= -\langle F, (a\ \phi)^\prime \rangle + \langle F, a^\prime\ \phi \rangle \\
&= \langle F^\prime, a\ \phi \rangle + \langle a^\prime\ F, \phi \rangle\\
&= \langle a\ F^\prime + a^\prime\ F,\phi \rangle
\end{split}
\]
quindi \((a\ F)^\prime = a\ F^\prime + a^\prime\ F\)... Ora, come detto nel post linkato sopra, se \(F\) coincide con la \(\delta\), la distribuzione \(a\ \delta^\prime\) è un po' bruttarella (perché contiene un termine che intuitivamente sembra non c'entrarci nulla), quindi devi stare attento; d'altra parte, però, se in \(F\) non ci sono impulsi, tutto va come deve andare e via.

Nel tuo caso, i.e. \(a(x)=\cos x\) ed \(F=H\) con \(H\) individuata dalla funzione di Heaviside, hai effettivamente:
\[
(\cos x\ H)^\prime = -\sin x\ H + \delta\; ,
\]
perché per ogni test trovi:
\[
\begin{split}
\langle (\cos x\ H)^\prime, \phi\rangle &= -\langle \cos x\ H, \phi^\prime \rangle\\
&= -\langle H, \cos x\ \phi^\prime \rangle\\
&= -\langle H, (\cos x\ \phi)^\prime +\sin x\ \phi\rangle \\
&= \langle H^\prime, \cos x\ \phi \rangle + \langle -\sin x\ H, \phi\rangle\\
&= \langle \delta, \cos x\ \phi \rangle + \langle -\sin x\ H, \phi\rangle\\
&= \phi (0) + \langle -\sin x\ H, \phi\rangle\\
&= \langle \delta, \phi \rangle + \langle -\sin x\ H, \phi\rangle\\
&= \langle \delta -\sin x\ H, \phi\rangle\; .
\end{split}
\]

[Nick_931]

Ciao gugo. Scusami se ritardo a rispondere. Credo di aver capito; anche il pdf di barozzi è molto chiaro anche se devo rileggermi e capire meglio il concetto di funzione impulsiva

In pratica, se volessi riscrivere in altri termini, prendendo una generica funzione discontinua

$F(x)=H(x-x_0)g(x)+H(x_0-x)f(x)$

$F'(x)=H'(x-x_0)g(x)+H(x-x_0)g'(x)+H'(x_0-x)f(x)+H(x_0-x)f'(x)=$
$=\delta(x-x_0)g(x)+H(x-x_0)g'(x)+\delta(x_0-x)f(x)+H(x_0-x)f'(x)=$
$\delta(x-x_0)(g(x_0)-f(x_0))+H(x-x_0)g'(x)+H(x_0-x)f'(x)$

Nell'esempio

$ (H(x)cos x)' $

mi sono dimenticato di riportare il risultato, e ciò che non mi tornava era anche il fatto che mi dava

$ (H(x)cos x)' =H(x)-H(x)sin x $

è evidentemente errato quest'ultimo risultato esatto? o mi sfugge qualcosa?