Derivata di una circuitazione rispetto al tempo

[daniele.candelaresi96]

Salve a tutti!
Vorrei capire perchè la derivata rispetto al tempo della circuitazione di un vettore :

$ Gamma =oint_(l)vec(u) \cdot dvec(l) $

vale in generale :

$ (dGamma )/dt=oint_(l) (dvec(u))/dt \cdot dvec(l) + oint_(l)vec(u)\cdot (dvec(l))/dt $

Ringrazio per la risposta.

[donald_zeka]

Si deriva sotto il segno di integrale (supponendo valide le ipotesi per poterlo fare)...e come sai $D(f*g)=g*Df+f*Dg$

[daniele.candelaresi96]

Proprio questa mi resta difficile da capire. Sapresti indicarmi qualche teorema con relativa dimostrazione che afferma questo, ossia che si deriva sotto il segno di integrale?

[donald_zeka]

Tale teorema è preso dal Pagani-Salsa Analisi matematica 2, si parla di integrali doppi ma chiaramente è generalizzabile a qualsiasi integrale. Supponiamo che una funzione integranda $f$ dipenda, oltre che dalle variabili di integrazione x,y, anche da un parametro t (che non è necessariamente il tempo, ma nel caso del tuo esercizio si), detto Omega il dominio di integrazione e una volta effettuata l'integrazione si trova:

$phi(t)=intint_(Omega)f(x,y,t)dxdy$, ossia l'integrale è una funzione del parametro t.

Il teorema dice:

Sia $f:Omegaxx[a,b]->RR$ di classe $C^1$, e f integrabile in $Omega$ per ogni $t in [a,b]$, allora:

$(partial)/(partialt)intint_(Omega)f(x,y,t)dxdy=intint_(Omega)(partialf)/(partialt)(x,y,t)dxdy$

Ossia la derivata rispetto a t dell'integrale di f, è uguale all'integrale della derivata di f rispetto a t.

Questa è anche una cosa abbastanza intuitiva, infatti in generale, l'integrale e la derivata "commutano", ossia l'integrale della derivata è uguale alla derivata dell'integrale. Diciamo che vale "sempre" nella fisica, perché in fisica le funzioni si considerano sempre "abbastanza regolari", intendendo con questo che esse siano almeno di classe $C^1$, e quindi si può sempre derivare sotto il segno di integrale.

[daniele.candelaresi96]

Chiaro , grazie mille